推進保持間隔不變
一次勞侖茲變換是把一位慣性觀者的座標 (ct,x,y,z) 換成另一位的 (ct',x',y',z') 的規則。決定它的要求很簡單:它必須使間隔 s^2 保持不變,正如一般旋轉使長度保持不變。對於沿 x 軸、速度為 v 的推進(boost),變換為:
標準推進,其中 \beta=v/c,勞侖茲因子為 \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}。注意時間與空間相互混合—— x 出現在 t' 裡, t 出現在 x' 裡。
你可以直接代入驗證 c^2t'^2-x'^2 = c^2t^2-x^2:因為 \gamma^2(1-\beta^2)=1, \gamma^2 與交叉項恰好相消。所以推進確實是旋轉在時空中的類比。但它是一種奇特的旋轉——它保持的不是 c^2t^2+x^2(那會是圓),而是 c^2t^2-x^2(一條雙曲線)。這正是它真正本性的線索。
快度:雙曲角
一次角度為 \theta 的一般旋轉用 \cos\theta 與 \sin\theta,而且角度直接相加。一次推進則用雙曲函數與一個稱為快度的角 \varphi,定義為 \tanh\varphi=\beta。於是 \gamma=\cosh\varphi、 \gamma\beta=\sinh\varphi,推進便呈現出旋轉的樣貌:
推進就是轉過快度 \varphi 的雙曲旋轉。與一般旋轉相比:一般旋轉在此處為 \cosh/\sinh 與負號之處,用的是 \cos/\sin 與正號。
相對論速度相加直接來自快度相加與恆等式 \tanh(a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}。兩次半光速的推進疊加得到 $0.8c$,而不是 c。
從時空圖讀出各種效應
在時空圖上,被推進的軸會傾斜: t' 軸(移動觀者的世界線)朝光線旋轉, x' 軸(他們的「現在」)則向上旋轉去迎接它。兩軸像一把剪刀般夾合,始終跨在光錐兩側,而光錐固定不動——因為對每個人而言光都有 \beta=1。拉動下方的推進滑桿,一次看見這三種著名效應同時出現。
同時性的相對性就是 x' 軸的傾斜:軸上的事件(對移動觀者都是「現在」)並非水平,所以對靜止觀者而言它們發生在不同時刻。時間膨脹在世界線與不變雙曲線 c^2t^2-x^2=\text{const} 相交處讀出:移動時鐘的一「滴答」在靜止時間裡「較晚」才碰到雙曲線。長度收縮則是同一條雙曲線在空間側的讀法。關鍵在於:這三者都是互逆的——每位觀者都看到對方的鐘變慢、尺變短——之所以沒有悖論,正因為他們對同時性各執一詞。
勞侖茲群
所有保持間隔不變的變換之全體——任意方向的推進以及一般的空間旋轉——構成勞侖茲群,記作 O(1,3)。把其中兩個成員複合,結果永遠是另一個成員;這種封閉性正是「群」的含意。微妙之處在於:兩次不同方向的推進複合起來,會得到一次推進外加一次旋轉。那多出來的旋轉就是湯瑪士進動,它不是數學上的好奇心——它在原子中電子的自旋進動裡造成真實、可量測的偏移。