拉莫公式與輻射偶極

輻射多少功率？拉莫公式

取輻射場 E_{\text{rad}}=\mu_0 q a\sin\theta/(4\pi r)，構成坡印廷通量 S=E_{\text{rad}}^2/(\mu_0 c)，並在一個大球面上積分。S 中每個 1/r^2 都被球的 r^2 面積抵消，留下一個與半徑無關的有限總功率——拉莫公式。

P = \frac{\mu_0 q^{2} a^{2}}{6\pi c} = \frac{q^{2}a^{2}}{6\pi\varepsilon_0 c^{3}}

拉莫公式：輻射功率隨加速度平方與電荷平方增長。

輻射花樣：甜甜圈

角分佈帶有 \sin^2\theta 因子，其中 \theta 自加速度軸量起。因此沿加速度方向沒有輻射，而在其側向輻射最強。在三維中旋轉出來，這花樣是一個甜甜圈（環面），其軸為 \mathbf{a}，其孔沿振盪方向敞開。

\frac{dP}{d\Omega} = \frac{\mu_0 q^{2} a^{2}}{16\pi^{2} c}\,\sin^{2}\theta

偶極輻射的角分佈；\theta 為與加速度的夾角。

範例：古典原子必然塌縮

拉塞福的行星式原子中，電子繞著質子公轉。圓周運動就是加速，故依拉莫公式，電子必然持續輻射、損失能量、向內螺旋。讓我們估計它能存活多久——並看古典物理如何消滅原子，那正是逼出量子力學的危機。

振盪偶極與天線

多數真實的輻射源是振盪的電偶極：電荷來回晃動，p(t)=p_0\cos\omega t。加速度隨 \omega^2 p_0\cos\omega t，故輻射功率隨 \omega^4——這正是天空為何是藍色（瑞立散射偏好高頻）、天線為何只在共振附近才高效運作背後那戲劇性的頻率依賴。

\langle P\rangle = \frac{\mu_0\, p_0^{2}\,\omega^{4}}{12\pi c}

振盪電偶極的時間平均功率——注意那猛烈的 \omega^4。

真實的偶極天線把驅動功率化為輻射，彷彿經過一個電阻——其輻射電阻。對長度 d\ll\lambda 的短天線，理想化值為 R_{\text{rad}}\approx 790\,(d/\lambda)^2\,\Omega：效率隨 d/\lambda 陡升，這正是可用天線的尺寸須為所廣播波長之相當比例的原因。

R_{\text{rad}} \approx \frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\left(\frac{d}{\lambda}\right)^{2} \approx 790\left(\frac{d}{\lambda}\right)^{2}\ \Omega

理想化的短、細、中央饋電偶極的輻射電阻；\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 377\,\Omega 是自由空間的阻抗。