推遲勢：會記憶的場

勢滿足波動方程

回想勢：\mathbf{E}=-\nabla\phi-\partial\mathbf{A}/\partial t 與 \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}，其中有純量勢 \phi 與向量勢 \mathbf{A}。它們並非唯一：一次規範變換 \phi\to\phi-\partial\chi/\partial t、\mathbf{A}\to\mathbf{A}+\nabla\chi 使 \mathbf{E} 與 \mathbf{B} 保持不變。我們利用這份自由來簡化方程。

選取勞侖茲規範 \nabla\cdot\mathbf{A}+\tfrac{1}{c^2}\partial\phi/\partial t=0。在此條件下，馬克士威方程組解耦為兩個相同形式的非齊次波動方程——一個給 \phi，一個給 \mathbf{A} 的每個分量——分別由電荷與電流驅動。

\Box\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \Box\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}, \qquad \Box \equiv \nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}

在勞侖茲規範下，每個勢都滿足以電荷或電流為源的波動方程；\Box 是達朗貝爾算符。

推遲解

去掉時間導數，方程 \nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon_0 便是靜電學，由熟悉的庫侖積分求解。把時間導數放回，解具有相同的形狀——但源必須在推遲時間 t_r=t-|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c 求值。此時此地的勢，是由每一小塊源在恰好一個光行時間之前的狀態所組成。

\phi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r', \qquad t_r = t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

推遲勢；\mathbf{A} 具有完全相同的形式，只是把 \rho/\varepsilon_0 換成 \mu_0\mathbf{J}。

點電荷：李納–維謝爾勢

對單一運動的點電荷，你不能只是把一個 delta 函數丟進積分——因為電荷在其訊號正被發出的期間仍在移動，於是出現一個微妙的幾何因子。結果就是李納–維謝爾勢，帶有標誌性的因子 (1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})，其中 \mathbf{n} 是指向場點的單位向量、\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c，全部在推遲時間求值。

\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{(1-\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\beta})\,R}\bigg|_{\text{ret}}, \qquad \mathbf{A} = \frac{\mathbf{v}}{c^{2}}\,\phi

點電荷的李納–維謝爾勢；R 是推遲距離，而向量勢只是隨速度同向。

運動電荷的場

對勢求導——要小心，因為 t_r 本身依賴位置——電場便乾淨地分成兩部分。一個速度場 \propto 1/R^2，拖著庫侖場前進、不含加速度；以及一個加速度場 \propto 1/R，對 \mathbf{a} 線性、垂直於 \mathbf{n}——這就是輻射。

\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R}{(\mathbf{R}\cdot\mathbf{u})^{3}}\Big[\underbrace{(c^{2}-v^{2})\mathbf{u}}_{\text{velocity field } \sim 1/R^{2}} + \underbrace{\mathbf{R}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})}_{\text{radiation field } \sim 1/R}\Big], \quad \mathbf{u}=c\hat{\mathbf{n}}-\mathbf{v}

任意運動電荷的精確場（Griffiths 形式）：\mathbf{R} 是推遲間隔向量，R=|\mathbf{R}|、\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{R}/R，且 \mathbf{B}=\tfrac1c\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{E}。

唯有加速度項存活到無窮遠，它垂直於 \hat{\mathbf{n}}，E_{\text{rad}}=cB_{\text{rad}}，且 \mathbf{E}\times\mathbf{B} 指向外側——正是第 1 篇扭結圖像所勾勒的 $1/r$ 輻射場，如今精確導出。在輻射區中，遠超一個波長之外，只有這一部分重要。