玻色子的舞台：光子、聲子與黑體輻射

光子氣體：化學勢為零的玻色氣體

熱腔中的電磁輻射是一團光子氣體——自旋為 1 的玻色子。但光子會被腔壁自由地產生與湮滅，故其數目不守恆。系統對 N 極小化其自由能，這迫使化學勢為零：\mu = 0。

計數模式需要光子的態密度。光子無質量，\varepsilon = \hbar\omega = \hbar c k，且每個模式有兩種偏振。在體積為 V 的盒中計數駐波，得到：

g(\omega)\,d\omega = \frac{V\,\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}}\,d\omega

頻率介於 ω 與 ω + dω 之間的電磁模式數，已含兩種偏振。它隨 ω² 增長——高頻模式遠多於低頻模式。

普朗克定律與紫外災變的終結

把態密度乘上每模式的平均能量——即 \mu = 0 的玻色佔據數 \bar n(\omega) 乘以 \hbar\omega——便得到光譜能量密度。這就是 普朗克輻射定律。

u(\omega)\,d\omega = \frac{\hbar\,\omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}}\,\frac{1}{e^{\hbar\omega / k_B T} - 1}\,d\omega

普朗克定律：黑體輻射每單位角頻率的能量密度。玻色因子在高頻處以指數方式截斷 ω³ 的增長。

兩個極限道出這段歷史。低頻時（\hbar\omega \ll k_B T），玻色因子給每模式 k_B T，還原古典的瑞立-金斯定律——若延伸到所有頻率便會發散（紫外災變）。高頻時指數項勝出，光譜衰減（維因定律）。普朗克的 \hbar 馴服了這場災變。

\hbar\omega \ll k_B T:\;\; u \to \frac{\omega^{2} k_B T}{\pi^{2} c^{3}} \;\text{(Rayleigh-Jeans)}; \qquad \hbar\omega \gg k_B T:\;\; u \to \frac{\hbar\omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}}\,e^{-\hbar\omega / k_B T} \;\text{(Wien)}

普朗克定律的古典（瑞立-金斯）極限與量子壓抑（維因）極限。唯有完整的玻色表達式能無災難地銜接兩者。

範例：史特凡-波茲曼與維因

兩條著名定律直接從普朗克光譜中落下。讓我們明確導出總輻射能量密度（史特凡-波茲曼）。

對光譜積分。 總能量密度為 \frac{U}{V} = \int_0^\infty u(\omega)\,d\omega = \frac{\hbar}{\pi^2 c^3}\int_0^\infty \frac{\omega^3\,d\omega}{e^{\hbar\omega/k_B T}-1}。
代換 x = \hbar\omega/k_B T。溫度因子提出為 T^4，留下純數 \int_0^\infty \frac{x^3\,dx}{e^x - 1} = \frac{\pi^4}{15}（一個標準積分，與伽瑪函數及黎曼-澤塔函數有關）。
整理。 結果為 U/V = a\,T^4，其中 a = \pi^2 k_B^4 / (15\hbar^3 c^3)。每單位面積輻射功率為 j = \sigma T^4，其中 \sigma = ac/4 \approx 5.67\times10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\text{K}^{-4}。

\frac{U}{V} = a\,T^{4}, \quad a = \frac{\pi^{2} k_B^{4}}{15\,\hbar^{3} c^{3}}; \qquad \lambda_{\max}\,T = b \approx 2.898\times10^{-3}\ \text{m·K}

左：史特凡-波茲曼定律——總輻射能量隨 T⁴ 增長。右：維因位移定律——尖峰波長與溫度成反比移動，這正是越熱的物體發光越偏藍的原因。

聲子與固體的比熱

晶體的原子以簡正模式集體振動；把每個模式量子化，其激發即聲子——同樣是 \mu = 0 的玻色子。數學與光子氣體相仿，只有一個關鍵差別：N 個原子的晶體只有「有限」個模式（$3N$ 個），故存在一個最高頻率。德拜模型 以一個截止頻率捕捉這一點。

C_V \xrightarrow{\;T \ll \Theta_D\;} \frac{12\pi^{4}}{5} N k_B \!\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^{3}, \qquad C_V \xrightarrow{\;T \gg \Theta_D\;} 3 N k_B

德拜比熱：低溫下的 T³ 律（著名的德拜結果），升高至高溫時的古典杜隆-珀蒂值 3Nk_B。Θ_D 為德拜溫度。