為何需要量子統計？不可分辨性改變了一切

古典計數的裂縫

在《統計力學一》中，你數微觀態時彷彿每個粒子都掛著名牌——交換粒子 A 與粒子 B，你就宣稱得到「不同」的微觀態。這個看似無害的假設卻使理論崩潰：它讓熵不再具外延性，並在你移除兩份相同氣體之間的隔板時，預言出一個虛假的熵變。這就是 吉布斯佯謬。

經驗上的修補，是把組態數目除以 $N!$——即重新標記全同粒子的方式數。加上這個因子後，熵重新具外延性，佯謬也隨之消失，正如薩克-泰特羅德方程所示。

S = N k_B\left[\ln\!\left(\frac{V}{N\,\lambda_{\text{th}}^{3}}\right) + \frac{5}{2}\right]

理想氣體的薩克-泰特羅德熵。源自不可分辨性的 1/N! 正是讓 S 依賴於密度 V/N（一個強度量）、而非分別依賴 V 與 N 的關鍵，從而恢復外延性。

每個粒子都有一團量子模糊，其尺度由德布羅意波長決定。在溫度 T 下，典型動量是熱動量，對應的波長即 熱德布羅意波長 \lambda_{\text{th}}。

\lambda_{\text{th}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}

熱德布羅意波長：越冷或越輕的粒子越「模糊」。當 T → 0 時它無限增大。

決定性的問題在於：這些量子雲是否重疊。把 \lambda_{\text{th}} 與平均粒子間距 n^{-1/3} 相比（n 為數密度）。無因次的 簡併參數 即 n\lambda_{\text{th}}^{3}。

n\,\lambda_{\text{th}}^{3} \;\lesssim\; 1 \;\;\text{(classical)}, \qquad n\,\lambda_{\text{th}}^{3} \;\gtrsim\; 1 \;\;\text{(quantum / degenerate)}

決定一切的單一數字。當量子雲幾乎不重疊時氣體是古典的；當它們彼此擁擠時，量子統計便接管一切。

由於全同粒子真正可互換，交換任意兩者必須讓所有物理不變。因此聯合波函數在交換下只能獲得一個相位，而自洽性迫使該相位為 \pm 1。

\hat P_{12}\,\psi(1,2) = \pm\,\psi(2,1), \qquad +\;\text{bosons}, \;\; -\;\text{fermions}

交換算符對玻色子給 +1（對稱波函數）、對費米子給 −1（反對稱波函數）。反對稱性禁止兩個費米子共處同一狀態——這就是一行式的包立原理。

自旋統計定理 把這件事與自旋綁在一起：整數自旋粒子（光子、聲子、氦-4、W 與 Z 玻色子）是玻色子；半整數自旋粒子（電子、質子、中子、氦-3）是費米子。由反對稱性推出 包立不相容原理：每個單粒子量子態最多只能容納一個費米子。

整個章節都濃縮在一張圖裡：在溫度 T 下，能量為 \varepsilon 的狀態被多少粒子佔據。費米子拒絕重疊，佔據數永不超過一；玻色子喜歡擁擠，佔據數可無限增大；古典粒子居於兩者之間。在高能量或高溫下，三條曲線都退化為古典的馬克士威-波茲曼結果。

接下來的一切都是這三條曲線的推論：黑體輻射與固體比熱來自玻色曲線；金屬、白矮星與中子星的穩定性來自費米階梯；而玻色-愛因斯坦凝聚，則來自玻色子用盡激發態可佔據時所發生的事。