可觀測量是厄米算符
在量子力學中,每個可測量的量——位置、動量、能量、角動量——都由作用在態上的線性算符 \hat A 表示。但不是隨便哪個算符都行:真正的可觀測量必須是厄米的(自伴的),即 \hat A^{\dagger}=\hat A。那些被 \hat A 以單純縮放方式作用的特殊態,就是它的本徵態。
本徵值方程式: |a\rangle 是 \hat A 的本徵態,本徵值為 a。
兩條定理使厄米性恰好成為物理所需的正確條件。其一,厄米算符的本徵值都是實數——故可能的測得值都是普通實數,理應如此。其二,屬於相異本徵值的本徵態彼此正交,且它們合起來構成一組完備基底——故任何態都能以任一可觀測量的本徵態展開。
厄米性保證實本徵值與正交歸一的本徵基底——正是測量所要求的兩項性質。
測量公設與玻恩定則
測量公設把形式體系繫到實驗室。對 \hat A 的一次測量只能給出它的某個本徵值 a。若系統處於 |\psi\rangle,先展開 |\psi\rangle=\sum_a c_a|a\rangle;則結果 a 的機率是 |c_a|^2=|\langle a|\psi\rangle|^2——又是玻恩定則。緊接著,態便「塌縮」到所測得的本徵態 |a\rangle(波函數塌縮)。
以投影表達的玻恩定則;機率總和為一,正因 \langle\psi|\psi\rangle=1 且本徵基底完備。
對許多以相同方式製備的副本重複同一測量並取平均,便得到期望值,即本徵值的機率加權平均。它有一個優美而精簡的形式:把算符夾在態與其左矢之間的「三明治」。
期望值:對以相同方式製備的系統做多次測量的平均。
對易子與相容性
對算符而言,次序有影響:一般 \hat A\hat B\neq\hat B\hat A。這種不對易的程度由對易子 [\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A 度量。當它為零時,\hat A 與 \hat B 共享一組本徵基底,可同時測得確定值——它們是相容的。當它不為零時,沒有任何態能同時是兩者的鋭利本徵態。
對易子度量兩個可觀測量在多大程度上無法同時測量。
正則對易關係——位置與動量在根本上不相容。
關係式 [\hat x,\hat p]=i\hbar 可說是所有量子怪異性所從出的那一條方程式。用 \hat p=-i\hbar\,d/dx 作用在測試函數 f 上,一行就能驗證: (\hat x\hat p-\hat p\hat x)f=-i\hbar\,x f'+i\hbar\,(xf)'=i\hbar f。結果非零,故 x 與 p 永遠無法同時完全鋭利。
不確定性原理
不對易的可觀測量服從一條嚴格的不等式——羅伯森關係。任兩個可觀測量的標準差之乘積,其下界由它們對易子的期望值決定。這是一條關於態之結構的定理,而非任何儀器的極限。
一般的(羅伯森)不確定性關係,對任意一對可觀測量都成立。
海森堡位置-動量關係,由把 [\hat x,\hat p]=i\hbar 代入羅伯森不等式而得。