希爾伯特空間與狄拉克的左右矢語言

態居於希爾伯特空間

波函數 \psi(x) 只是一個態的一種描述——它在位置基底下的描述。態本身更抽象:一個活在配有內積的複向量空間中的向量 |\psi\rangle,這個空間稱為希爾伯特空間。同一個態可以寫成 \psi(x)、寫成動量空間的 \tilde\psi(p),或寫成一列機率幅——同一支箭頭,許多套座標系。

兩項要素使希爾伯特空間成為量子態的正確歸宿。內積,讓我們能定義長度、夾角,以及——我們即將看到的——機率;還有完備性,保證態的極限仍是態,這在空間為無窮維時是技術上的必要條件。物理態總是被歸一化為長度一。

右矢、左矢與內積

狄拉克的左右矢符號是實用的語言。一個態是一個右矢 |\psi\rangle。每個右矢對應一個左矢 \langle\psi|,即它的厄米共軛,扮演線性泛函的角色。把左矢與右矢貼合,便產生單一複數,即內積 \langle\phi|\psi\rangle——正是這個「括號」(bracket)給了此符號其名。

\langle\phi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\phi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx

在位置表象下寫開的內積——由兩個態構成的單一複數。

\langle\phi|\psi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle^{*},\qquad \langle\psi|\psi\rangle=\lVert\psi\rVert^{2}\ge 0,\qquad \langle\psi|\psi\rangle=1

它的定義性質:共軛對稱、實的非負範數,以及物理態歸一化為一。

內積是把兩個態轉換為機率幅的機器。把 \langle\phi|\psi\rangle 讀作「已知系統處於態 \psi 時,發現它處於態 \phi 的機率幅」;其模平方 |\langle\phi|\psi\rangle|^2 就是機率。這又是玻恩定則,只是現在寫成一個完全不提位置的形式。

基底與完備性

選定一組正交歸一基底 \{|n\rangle\},即 \langle m|n\rangle=\delta_{mn}。任何態便展開為 |\psi\rangle=\sum_n c_n|n\rangle,而每個係數都是一個投影 c_n=\langle n|\psi\rangle——態沿 |n\rangle 方向的分量,也正是結果 n 的機率幅。

|\psi\rangle=\sum_{n}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n}|n\rangle\langle n|=\hat I

完備關係(單位分解):把投影算符 |n\rangle\langle n| 對一組完備基底求和,便重建出單位算符。

表象:位置與動量

現在波函數揭示了它真正的身分:它是一個投影。 \psi(x)=\langle x|\psi\rangle 是在位置 x 找到粒子的機率幅,即 |\psi\rangle 沿位置本徵態 |x\rangle 的分量。由於 x 是連續的,此基底以積分取代求和。動量表象 \tilde\psi(p)=\langle p|\psi\rangle 是 \psi(x) 的傅立葉變換——同一個態,不同的基底。

\psi(x)=\langle x|\psi\rangle,\qquad \hat p\;\longrightarrow\;-i\hbar\,\frac{d}{dx}\ \ (\text{position basis})

波函數是抽象態在位置基底下的分量;在該基底中,動量以微分算符的形式作用。

這正是抽象化真正的紅利。用 |\psi\rangle 與算符證明的結果,在每一種表象中同時成立——你可以在最方便的基底裡計算,而物理量(期望值、機率、能譜)算出來都與基底無關。那些可觀測量及代表它們的算符,正是下一篇的主題。