古典上的不可能
把球朝山丘滾去。若它的能量小於山丘的高度，它必定滾回來——每一次都是。量子粒子卻不然。面對一道比自身能量更高的位能障壁，它的波函數會穿透障壁，而且有一個有限的機率從另一側冒出，能量仍與原來相同。這就是量子穿隧，它完全沒有古典對應。
波穿過障壁
建立最簡單的模型：高度為 V_0、寬度為 a 的矩形障壁，入射粒子能量 E<V_0。把空間分成三區——左側是入射波加反射波、障壁內為指數衰減、右側為穿透波——並在兩個邊界匹配 \psi 與 \psi'。障壁內的波由與有限井相同的衰減常數所支配。
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}, \qquad \psi_{\text{inside}}(x) \sim e^{-\kappa x}
波函數在障壁內以穿透深度 1/κ 衰減。
把匹配計算完成，就得到精確的穿透機率 T——入射粒子中穿過去的比例。它取決於能量、障壁高度，而最關鍵的是寬度。
T = \left[\,1 + \frac{V_0^{2}\sinh^{2}(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\,\right]^{-1}
當 E < V₀ 時，粒子穿過矩形障壁的精確穿透率。
厚障壁與 WKB 近似
對於任何又厚又高的障壁，\kappa a \gg 1 時，\sinh 化為成長的指數，穿透率由單一指數因子主導。這是值得背下來的形式：穿透率隨障壁寬度、以及隨粒子質量的平方根，呈指數式下降。
T \approx 16\,\frac{E}{V_0}\!\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a} \;\sim\; e^{-2\kappa a}
厚障壁極限：指數因子 e^(−2κa) 主導一切。
真實的障壁很少是矩形。對於平滑變化的位能，WKB 近似把結果推廣：指數變成把局部衰減率沿整個禁區積分。這一條公式就能估算從核衰變到化學反應的各種穿隧問題。
T \approx \exp\!\left(-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\,[V(x)-E]}\;dx\right)
在轉折點 x₁ 與 x₂ 之間平滑障壁的 WKB 穿隧估計。
穿隧如何運轉這個世界
穿隧不是趣聞——它是主力。它解釋了阿爾法衰變（阿爾法粒子從原子核穿隧而出，而伽莫夫的指數因子解釋了半衰期跨越極大範圍的原因）；它讓核融合得以在太陽核心進行，那裡原子核在古典上根本無法翻越彼此的庫侖排斥、卻能穿隧而過；掃描穿隧顯微鏡把對寬度的指數敏感度變成原子解析度的成像；而穿隧二極體、約瑟夫森接面與快閃記憶體的抹除步驟也都倚賴它。