求解無限深方形井
考慮一個被兩道無法穿透的牆困住的粒子：在 $0<x<L$ 內 V=0，牆外 V=\infty。粒子根本不可能出現在牆內，所以那裡 \psi=0。井內因 V=0，定態薛丁格方程式化簡為自由粒子方程式，而牆的位置提供了使其量子化的邊界條件。
井內的通解；邊界條件決定常數並使 k 量子化。
無限深方形井完整的能譜與本徵態。
解讀這個解
最低態 n=1 的能量為 E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2，並不為零。被侷限的量子粒子永遠無法完全靜止。這個無法消去的零點能是不確定性原理所要求的：把粒子釘在尺度為 L 的區域內，就強迫動量有一定的分佈，因而有一個最小動能。
兩個特徵引導你所有的直覺。能量以 n^2 成長，故往上爬時能階愈拉愈開；能量又與 1/L^2 成比例：把盒子壓小，能階就飆高。這種量子侷限正是較小的量子點發出比較大者更藍的光的原因——真實、可調，且已用於電視。舉個數字：邊長 L=0.1\,\text{nm} 盒中的電子有 E_1\approx 38\,\text{eV}，與原子尺度的能量相當；同一個電子放進微米大小的盒子，能階近到無法分辨，行為便回到古典。
這些態彼此正交，第 n 個態在內部有 n-1 個節點，而井內任何波函數都能展開成它們的傅立葉正弦級數。計算諸如 \langle x\rangle=L/2 或 \langle x^2\rangle 這類期望值，如今只是例行的積分。
有限深方形井：滲漏而出
把牆改成有限的——深度 V_0 而非無限——就出現了新現象。對於 E<V_0 的束縛態，井外是古典禁區，但那裡的波函數並不為零，而是呈指數衰減。有限深方形井是你第一次看到粒子的波函數滲入禁區的地方。
有限井外，波函數以穿透深度 1/κ 衰減，而非振盪。
求解方式是在每道牆上讓 \psi 與其斜率 \psi' 匹配（兩者都必須連續），得到一個沒有封閉解的超越方程式——只能以圖解或數值求解。結果是：只存在有限個束縛態，它們的對稱性在偶與奇之間交替，且每一個都略低於對應的無限井能階，因為波函數如今多了一點伸展的空間。
寬度為 L 的對稱有限井的超越匹配條件。
所有束縛態的通則
這兩個井教會了通則。束縛粒子有離散譜；基態沒有節點，每往上一階就多一個節點（節點定理）；而只要牆是有限的，波函數就會稍微穿隧進入禁區——這條指數尾巴，正是下一篇指南的全部主題。
同一套配方也適用於你在「量子力學一」遇過的量子諧振子，其中升降算符給出等間距能階 E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega——同樣帶有非零的零點能。方形井與諧振子是量子點、分子振動，乃至每個量子場各模態的基本建材。