學以致用：反應、衰變與超越標準模型

為反應記帳：這反應容許嗎？

粒子物理學家的日常工作，始於一個簡單的問題：這反應到底能不能發生？回答它靠的不是解方程，而是逐一核對守恆量。只要有任何一項被破壞，反應就被禁止，沒有例外。

核對電荷 Q——前後必須相等。這條永遠精確。
核對重子數 B——每個夸克計 +\tfrac13、每個反夸克 -\tfrac13（故每個重子 $+1$、每個反重子 $-1$、輕子與玻色子皆為 $0$）。
核對輕子數 L——每個輕子 $+1$、每個反輕子 $-1$、夸克與玻色子為 $0$。（在標準模型中，每個世代的輕子數各自平衡。）
核對能量——自發衰變要求母粒子的靜止質量超過產物的總靜止質量。若母粒子較輕，衰變在靜止時無法進行。
若每一項都平衡，反應就容許——不過由哪種作用力（強、電磁或弱）居中，仍決定它進行的快慢。

兩個快速測試。p \to e^+ + \gamma 容許嗎？電荷平衡（$+1 = +1$）、能量也無妨，但重子數不然：1 \to 0。禁止——這正是質子穩定、而你仍在此的原因。再看中子 β 衰變 n \to p + e^- + \bar\nu_e：電荷 $0=+1-1$、重子 $1=1$、輕子 $0 = +1-1$，且中子比質子重。容許——而自由中子確實以約 15 分鐘的壽命衰變。

以四維動量計算衰變運動學

一旦衰變被容許，產物各帶多少能量？工具就是四維動量守恆——能量與動量合在一起。對一個靜止、質量為 M 的母粒子衰變為兩個產物，動量守恆迫使兩者背向飛離，而能量-動量關係便唯一地釘住各自的能量。

E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M} \qquad (c=1)

母粒子（質量 M、靜止）二體衰變中產物 1 的能量，由四維動量守恆導出。

取真實的衰變 \pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu，這是帶電 π 介子消亡的主要途徑。用 m_\pi \approx 139.6 MeV、m_\mu \approx 105.7 MeV 與無質量微中子，代入公式（自然單位）：

E_\mu = \frac{m_\pi^2 + m_\mu^2}{2m_\pi} \approx 109.8\ \text{MeV}, \qquad p = \frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2m_\pi} \approx 29.8\ \text{MeV}

緲子的能量與共有的動量。微中子帶 E_\nu = p \approx 29.8 MeV，且 E_\mu + E_\nu = 139.6 MeV = m_\pi——能量核對無誤。

標準模型的裂縫

儘管精確，標準模型並非定論——而且它自己就這麼告訴你。先從微中子說起。原本的模型假設它們無質量，然而微中子振盪——微中子在飛行中改變味——已被觀測到，而除非微中子有（極小的）質量，振盪根本不可能發生。雙味機率把這點說清楚：

P(\nu_\alpha \to \nu_\beta) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\!\left(\frac{\Delta m^2\,L}{4E}\right)

振盪機率取決於質量平方差 \Delta m^2——故非零的振盪直接證明微中子質量彼此不同，因而不全為零。

缺口從此擴大。暗物質——宇宙物質的六分之五，解釋星系旋轉曲線所必需——在標準模型中找不到任何粒子。物質-反物質不對稱無法由模型微薄的 CP 破壞產生。而階層問題追問：為何希格斯質量（\sim100 GeV）如此荒謬地遠小於普朗克尺度（\sim 10^{19} GeV），而量子修正卻似乎想把它往上拽——這種極端的微調，感覺就像一條線索。

通往何方：統一與量子重力

這些裂縫指向模型之外。三種作用力的強度隨能量而變，並在 10^{16} GeV 附近幾乎交會——這是大統一理論的希望，其中電磁、弱與強力是同一種交互作用的三張面孔。超對稱把每個費米子與一個玻色子夥伴配對，可能穩定希格斯質量、使那次交會更銳利，甚至提供暗物質候選者——不過大型強子對撞機至今未發現超夥伴，壓縮了理論的空間。

最深的缺口是重力。標準模型乾脆把它排除在外，而廣義相對論也抗拒被量子化。抵達普朗克尺度——完整的量子重力理論必須在此接手——正是弦論等想法試圖攻克的前沿，它以微小的振動弦取代點粒子，好讓重力與量子作用力或許終能共處於同一框架。