放射性衰變：模式與定律

指數衰變律

放射性衰變是量子過程：它真正是隨機且無記憶的。一個給定的核沒有年齡、沒有計畫；在任一瞬間，它每單位時間有固定的衰變機率，即衰變常數 \lambda。你無法說出哪一個核會衰變、或何時衰變——只有大量系綜的統計。單憑這一個假設，就得到放射性衰變律。

\frac{dN}{dt} = -\lambda N \;\;\Rightarrow\;\; N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \qquad \mathcal{A} = \lambda N

指數衰變：N 每經一個半衰期減半；活度 A（每秒衰變數）正比於剩下的核數。

α 衰變：穿隧而出

在 α 衰變中，一個重核射出一個氦-4 核（兩質子、兩中子），使其 Z 減 2、A 減 4。由於是二體分裂，α 粒子以單一能量射出——一條銳利的譜線——帶走大部分釋放的能量。α 發射在重核中最為常見，因為累積的庫侖斥力使甩出一個緊束縛的 α 團簇變得有利。

Gamow 於 1928 年破解的深層難題：α 粒子被困在一道高約 25–30 MeV 的庫侖障壁之後，卻只帶著約 5 MeV 逃出。古典上不可能。量子上，α 粒子穿隧過障壁，其波函數以指數式微小的振幅洩漏出去。由於穿隧機率極端敏感地依賴衰變能量，半衰期橫跨驚人的範圍——從微秒到數十億年——正由 Geiger–Nuttall 律描述。

\log_{10} t_{1/2} \;=\; a\,\frac{Z}{\sqrt{Q_\alpha}} \;+\; b

Geiger–Nuttall 律：衰變能量 Q 的微小改變，就使半衰期擺盪好幾個數量級——這是穿隧的指紋，常以 WKB 近似估算。

β 衰變：弱力與微中子

β 衰變把一個中子變成質子（或反之），使核沿同量異位素移向谷底而不改變 A。在 \beta^- 衰變中，中子變成質子並發射一個電子；鏡像過程為 \beta^+（正子）發射與電子捕獲。這是弱交互作用的傑作，由帶質量的 W 玻色子傳遞——唯一能把一種夸克變成另一種的力。

n \;\longrightarrow\; p \;+\; e^{-} \;+\; \bar{\nu}_e

β 減衰變。反微中子正是守恆律所要求的那個幽靈。

β 電子以連續的能量分布射出、而非銳利譜線——這在 1920 年代看來像是能量守恆被破壞了。庖立以假設一個看不見的第三個粒子分擔能量來拯救它：微中子。它恢復了能量、動量與角動量守恆，直到 1956 年才被偵測到。衰變率本身則由費米黃金定則導出，那是量子躍遷理論的主力。

γ 衰變與 Q 值

在一次 α 或 β 衰變後，子核往往停留在激發態。它藉由發射一個高能光子鬆弛——γ 衰變——Z 與 A 皆不變，正如激發態原子發光，只是能量在 MeV 而非 eV 尺度。任何衰變究竟能否發生，由其Q 值決定，即釋放的能量，由原料質量減去產物質量算出。

Q = \left[\,m_{\text{initial}} - \sum m_{\text{final}}\,\right]c^2 \;>\; 0 \quad\text{for a spontaneous decay}

衰變唯有在釋放能量（Q > 0）時才自發進行；Q 以產物的動能形式分配。

示範例：以碳-14 定年

一件木製文物的碳-14 活度是活樹的 25%。碳-14 以 5730 年的半衰期進行 β 衰變。它有多老？

把活度與時間連結。 活度正比於 C-14 核數，故 \mathcal{A}/\mathcal{A}_0 = N/N_0 = e^{-\lambda t} = 0.25。
數半衰期。 0.25 = (1/2)^2，故恰好過了兩個半衰期——不需計算機。
相乘。 t = 2 \times t_{1/2} = 2 \times 5730 = 11{,}460 年。
檢驗一般情形。 對任意比例，把指數反解：t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\!\dfrac{\mathcal{A}_0}{\mathcal{A}}。代入 \mathcal{A}_0/\mathcal{A} = 4 得回 11,460 年——正確。

兩個收尾的結構性觀念。衰變鏈：像鈾-238 這樣的重核，會經過一長串 α 與 β 衰變，最終停在穩定的鉛-206。長期平衡（secular equilibrium）：當長壽命母核餵養短壽命子核時，每個子核的活度會攀升到與母核相等——因此你地下室裡的氡，是被底下岩石中的鈾持續補充的。