格林函數：對點源的響應
線性在這裡付出它最大的紅利。要解一個受任意源驅動的線性方程，先解它對單一點源——一個 δ 函數——的響應。那個基本響應就是格林函數 G。因為任何源都是點源之和（篩選性質！），完整的解就只是 G 與實際源的摺積。
格林函數的配方：對點源解一次，再疊加。這一個想法就能解靜電學、熱流、受驅振子與量子散射。
你其實已經見過格林函數，只是不知其名：點電荷的庫侖勢 1/(4\pi\varepsilon_0 r) 就是靜電問題的格林函數，而任何電荷分布的場都是把它疊加而成。這個抽象只不過是為你早已信任的模式命名。
變分法
普通微積分尋找一個函數取駐值的點。變分法尋找的是整個函數——那條路徑、那個形狀、那條軌跡——使某個積分取駐值。那個積分稱為泛函：指派給每個候選函數的一個數。
要求泛函對函數的一切微小變形取駐值，會得到最佳函數必須滿足的一條微分方程：歐拉–拉格朗日方程。它是下一條學習路徑、乃至整個理論物理的主力。
駐定的作用量給出歐拉–拉格朗日方程。經典的試金石——最速降線（下滑最快的曲線）——正是由這套機器求解的。
對稱性與群論
最後一個大想法，是對稱性的數學。一個群是「使某物保持不變的變換」之集合，連同它們的合成規則——球的旋轉、全同粒子的置換、時空的勞侖茲變換。連續對稱群有一個相伴的、由無窮小生成元構成的李代數——而那些生成元，字面意義上就是守恆量，也是量子力學的角動量算符。
皇冠是諾特定理：一個系統之作用量的每一個連續對稱，都蘊含一個守恆量。時間平移對稱給出能量守恆；空間平移給出動量守恆；旋轉對稱給出角動量守恆。你在第一卷背下的守恆律，並非各自獨立的事實——它們是對稱性的影子。
這將通往何處
你如今握有這套實用的工具箱，而本卷其餘每一條學習路徑都以它書寫。向量與張量微積分支撐著電磁學、彈性學與廣義相對論。圍道積分計算散射與輻射的積分。轉換與格林函數解決每一個受驅的場。特殊函數提供原子的態。而變分原理加上對稱性——正是接下來幾條學習路徑的主題——重新表述了整個力學。