積分轉換、δ 函數與特殊函數

傅立葉級數：任何波都由純音組成

振動的弦、聲音、週期訊號——任何週期函數，無論多麼鋸齒，都能建構成純正弦與餘弦之和。這就是傅立葉級數，也是每一個「以基底展開」方法的原型。加入越多諧波，總和就越緊貼目標函數。

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\frac{2\pi n x}{L}+b_n\sin\frac{2\pi n x}{L}\right],\qquad a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{2\pi n x}{L}\,dx

傅立葉級數及其係數。係數公式之所以成立，是因為正弦與餘弦彼此正交——每一個都挑出屬於自己的振幅。

傅立葉轉換與 δ 函數

讓週期增長到無限，離散的諧波便融合成連續體：傅立葉轉換把一個非週期函數分解成頻率的連續譜。它是時間域與頻率域之間、量子力學中位置與動量之間的橋樑，並把微分轉成乘以 ik。

\tilde{f}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-ikx}\,dx,\qquad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(k)\,e^{ikx}\,dk

傅立葉轉換對：先分解為頻率、再合成回來。兩個積分幾乎互為鏡像。

把一個純頻率的尖峰餵回這部機器，會產生狄拉克 δ 函數 \delta(x)：一個除原點外處處為零、積分卻等於一的物件。它不是通常意義下的函數，而是一個分布——由它在積分內所做的事來定義，即它的篩選性質。

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx=f(a)

篩選性質：δ 函數在單一點取樣一個函數。它是克羅內克 δ 的連續類比，也是摺積的單位元。

拉普拉斯轉換

拉普拉斯轉換是傅立葉轉換的表親，專為初值問題調校：暫態響應、阻尼振盪、在 t=0 接通的電路。它把 t 的線性微分方程轉成變數 s 的代數方程，並自動一路攜帶初始條件。

\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt,\qquad \mathcal{L}\{f'\}=s\,\mathcal{L}\{f\}-f(0)

拉普拉斯轉換及其關鍵性質：微分變成乘以 s（再減去初值）。先解代數，再反轉回去。

特殊函數與施圖姆–劉維爾理論

正弦與餘弦是平坦、週期問題的自然基底。彎曲的幾何則需要別的基底。在球座標中分離波動方程或拉普拉斯方程，會冒出勒讓德多項式（與球諧函數）；在柱座標中做同樣的事，則得到貝索函數。它們並非任意——它們是各自幾何的自然諧波。

統一這些族的，是施圖姆–劉維爾理論。每一族都作為某個自伴微分算符的本徵函數出現，而一條深刻的定理保證這類本徵函數是實的、正交的、完備的——正是使一個基底可用的那些性質。這就是為什麼同一套「展開–投影–求解」的配方，對每一種特殊函數都行得通。

\frac{d}{dx}\!\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)\,y+\lambda\,w(x)\,y=0

施圖姆–劉維爾形式。勒讓德、貝索、埃爾米特與拉蓋爾方程都是它的特例——一套理論，眾多特殊函數。