為什麼需要一套共通的工具箱？
第一卷給了你物理本身：力、能量、場，以及相對論與量子的初步輪廓。從這裡開始，想法會超出初等代數所能承載的範圍。研究所的電磁學、量子力學或統計力學之所以困難，主要不是因為物理很怪，而是因為它以一種你尚未讀得流利的、高度精煉的數學方言寫成。
好消息是：同一小組數學結構會在各處反覆出現。一個場的散度，無論那是電場還是流體流動，意義都一樣；一條傅立葉級數用同樣的手法解決振動的弦與熱傳導問題；留數定理在光學裡計算積分的方式，和在量子散射裡完全相同。把這套方言學一次，之後每一門物理都會讀得更輕鬆。
反覆出現的四個核心想法
一、線性與疊加。 物理最基本的方程式——馬克士威方程組、薛丁格方程、波動方程、熱傳導方程——大多是線性的。這一個事實正是整套工具能運作的原因：若兩個東西都是解，它們的和也是解，於是我們能用簡單的積木堆出複雜的解。疊加原理不是次要的便利，而是基底與轉換之所以存在的理由。
二、以基底展開。 任何合理的函數，都可以寫成一組更簡單、標準的函數之和——正弦與餘弦、勒讓德多項式、或貝索函數——並依問題的對稱性來挑選。於是解題就化約成求一串係數。
三、轉換到較容易的域。 一個困難的時間微分方程，到了頻率域就變成簡單的代數方程。傅立葉轉換與拉普拉斯轉換，是往返「問題變得平凡的那個域」的來回車票。
四、對稱性約束一切。 若一個系統在某個操作後看起來不變——旋轉、平移、鏡射——這個對稱性就會迫使它的方程呈現特定形式，並保證某些守恆量存在。對稱性的數學就是群論，而它的頂點是諾特定理：每一個連續對稱都對應一條守恆律。
初體驗：指標記法
在那一切之前，我們需要一種精煉的方式來書寫向量及其運算。物理學家使用指標記法搭配愛因斯坦求和約定：一項中重複出現的指標，自動對其求和。於是內積不再是一句話，而是三個符號。
愛因斯坦約定：重複的指標 i 自動由 1 加到 3，於是求和符號可以省略。
兩個符號幾乎包辦了所有工作。克羅內克 δ 符號 \delta_{ij} 在指標相同時為 1、否則為 0——它就是單位矩陣，也是卡氏座標下度規的分量。列維–奇維塔符號 \varepsilon_{ijk} 在 (1,2,3) 的偶排列時為 $+1$、奇排列時為 $-1$、任一指標重複時為 $0$——它把外積與旋度都編碼了進去。
外積的指標形式，以及把巢狀外積（BAC–CAB 法則）化為一行運算的恆等式。
路線圖
本學習路徑其餘部分，會依使用順序把工具箱建起來。第 2 篇發展向量與張量微積分——場如何隨空間變化、積分定理、曲線座標與張量。第 3 篇轉向複數平面，在那裡圍道積分能算出一切實變技巧都算不出的積分。第 4 篇講積分轉換、狄拉克 δ 函數，以及解物理方程時自然浮現的特殊函數。第 5 篇用格林函數、變分法，以及直通拉格朗日力學的對稱想法，把一切串起來。