中心力問題
位於中心位能 V(r) 中的質點——繞太陽的行星、繞核的電子。用極座標 (r,\theta)。角度 \theta 不出現在 L 中，故為循環座標：其共軛動量、即角動量 \ell=mr^2\dot\theta 守恆。這正是克卜勒第二定律免費掉出來。
L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) - V(r), \qquad p_\theta = mr^2\dot\theta = \ell = \text{const}
角度為循環座標，故角動量守恆。
利用守恆的 \ell 消去 \dot\theta，二維問題便塌縮為 r(t) 在某個有效位能中運動的單一方程。離心項 \ell^2/2mr^2 並非真實的力——它是角向運動被重新打包後的記憶。
V_{\text{eff}}(r) = \frac{\ell^2}{2mr^2} + V(r), \qquad E = \tfrac12 m\dot r^2 + V_{\text{eff}}(r)
徑向運動是有效位能中的一維能量守恆問題。
微振動與簡正模
在任何穩定平衡點附近，把 V 展開到二階、T 展開到最低階。拉格朗日量變成二次型，由質量矩陣 \mathbf{M} 與剛度矩陣 \mathbf{K} 描述。尋找 \propto e^{i\omega t} 的振盪解，運動方程就化為一個廣義本徵值問題。
\det\!\left(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}\right) = 0
其根是簡正模頻率的平方；本徵向量則是簡正模。
誠實面對摩擦
真實系統會損失能量，而耗散沒有位能，故純粹的 L=T-V 無法描述它。誠實的補救是把非位能力當作廣義力 Q_j 放到右側，或者對於與速度成正比的阻力，從瑞立耗散函數導出它。
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = Q_j
重新加入非保守廣義力後的歐拉-拉格朗日方程。
最小作用量的去向
第三篇的能量函數 h 就是通往外界的門。對它施以勒讓德變換，把速度 \dot q 換成動量 p，你便得到哈密頓量 H(q,p)，其方程把力學重寫於相空間中——這正是下一個主題的題材，也是通往統計力學與量子力學的天然橋樑。
同樣的 L\to S\to\delta S=0 結構可以無上限地放大。電磁學、廣義相對論與整個標準模型，各自都由一個拉格朗日量所定義，而它們的場方程正是歐拉-拉格朗日方程。一開始只是解單擺的巧妙手法，最終竟成為我們對自然律所擁有的最深刻組織原理。