約束、對稱性與守恆律

約束與達朗貝爾原理

完整約束是座標之間的一條方程 g(\mathbf{q},t)=0——被限制在鐵絲上的珠子、長度固定的剛桿。非完整約束無法寫成那種形式（滾動硬幣的速度條件、不等式），需要更小心。完整約束只是單純地減少座標數目。

我們憑什麼可以完全忽略約束力？因為達朗貝爾原理：約束力垂直於容許的（虛）位移，因此不做虛功。這就是整座拉格朗日大廈所立足的地基。

\sum_i \left(\mathbf{F}_i - \dot{\mathbf{p}}_i\right)\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

達朗貝爾原理：外加力與慣性項不做淨虛功——約束力已經相消。

有時約束力正是我們要的答案——你想知道珠子何時飛離鐵絲、或纜繩的張力。那就保留那個多餘的座標，另外把約束 g_k(\mathbf{q})=0 加上，並為它引入一個拉格朗日乘子 \lambda_k。

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = \sum_k \lambda_k\,\frac{\partial g_k}{\partial q_j}

右側的乘子就是廣義約束力。

在此，拉格朗日力學展現了它的天賦。若某座標 q_j 不出現在 L 中（只有它的速度 \dot q_j 出現），它就稱為循環或可略座標。此時 \partial L/\partial q_j=0，歐拉-拉格朗日方程便塌縮為 \dot p_j=0：其共軛動量守恆。一條守恆律，直接從拉格朗日量讀出。

\frac{\partial L}{\partial q_j}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dp_j}{dt}=0

在 L 中缺席的座標，其共軛動量守恆。

這些例子正是我們熟悉的守恆律。若 L 不依賴某直角座標 x（空間均勻），則線動量 p_x 守恆。若 L 不依賴某角度 \phi（空間各向同性），則角動量 p_\phi 守恆。座標的「隱形」本身就是一種對稱性。

循環座標的觀察是物理學最深刻結果之一的特例——諾特定理：作用量的每一個連續對稱性，都對應一個守恆量，無論在你所選的變數中是否恰好有某個座標為循環座標。

\frac{d}{dt}\!\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\,\frac{\partial q_i}{\partial \varepsilon}\right) = 0

對於以 \varepsilon 為參數、使作用量不變的對稱性，這個諾特荷守恆。

三大守恆律如今被統一為三種對稱性。時間平移不變性給出能量守恆；空間平移給出動量守恆；旋轉給出角動量守恆。守恆律並非偶然——它們是對稱性投下的影子。