建立並求解拉格朗日量

配方

每一道拉格朗日問題都遵循同樣的五個步驟。把這套循環練熟，你就能對付那些在牛頓圖像中會變成一堆耦合向量方程惡夢的系統。

選定廣義座標——數目等於自由度，並配合約束。
用那些座標寫出動能 T 與位能 V。
組成拉格朗日量 L=T-V。
對每個座標各套用一次歐拉-拉格朗日方程。
求解或詮釋所得到的運動方程。

範例演練：單擺

質量 m 的擺錘掛在長 \ell 的無質量桿上。座標：與鉛直方向的夾角 \theta。它的速率是 \ell\dot\theta，而從樞軸量起的高度是 -\ell\cos\theta。於是動能與位能都能迅速寫出。

T = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2, \quad V = -mg\ell\cos\theta \;\Rightarrow\; L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta

以單一座標 \theta 寫出的單擺拉格朗日量。

接著開動歐拉-拉格朗日機器：\partial L/\partial\dot\theta = m\ell^2\dot\theta，其對時間的微分是 m\ell^2\ddot\theta；而 \partial L/\partial\theta = -mg\ell\sin\theta。令兩者之差為零，就得到運動方程。

\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta \;\xrightarrow{\;\theta\ll 1\;}\; \ddot\theta \approx -\frac{g}{\ell}\,\theta,\quad \omega=\sqrt{g/\ell}

精確的單擺方程，及其小角度極限——簡諧運動。

範例演練：阿特伍德機

兩個質量 m_1,m_2 用一條輕繩掛在無摩擦滑輪兩側。繩不可伸長是一個約束，故單一座標即足夠：令 x 為 m_1 下降的距離，則 m_2 上升同樣的 x。兩者都以速率 \dot x 運動。

L = \tfrac12(m_1+m_2)\dot x^2 + (m_1-m_2)g\,x

兩質量的動能，減去（含正負號的）重力位能。

一個座標、一條歐拉-拉格朗日方程：\tfrac{d}{dt}(m_1+m_2)\dot x = (m_1-m_2)g。加速度立刻得出——而我們從未引入繩張力，牛頓做法卻逼你在兩條耦合方程中一路帶著它。

a = \ddot x = \frac{(m_1-m_2)\,g}{m_1+m_2}

阿特伍德加速度，全程不曾提及張力便導出。

廣義動量與能量函數

對每個座標而言，與之共軛的量是廣義動量 p_i=\partial L/\partial\dot q_i。有時它就是普通的 mv；對角度座標而言它是角動量；在磁場中它會多出一項。理論所追蹤的正是這個廣義的 p，而非 mv。

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

與座標 q_i 共軛的廣義（正則）動量。

還有一個天然的類能量量，稱為能量函數（或雅可比積分）h=\sum_i\dot q_i\,p_i-L。當 L 不顯含時間時，h 守恆；而當座標也不含時間時，h 就等於普通的總能量 T+V。這個物件正是哈密頓力學的種子。

h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L

能量函數——當 L 不顯含時間時守恆。