最小作用量與歐拉-拉格朗日方程

作用量究竟是什麼？

對很大一類系統而言，拉格朗日量是動能與位能之差，L=T-V。（不是兩者之和——那是能量；最小作用量所極小化的是兩者之差。）作用量則是 L 對運動時間的積分。

S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt, \qquad L = T - V

作用量是一個泛函：餵給它一整條路徑 \mathbf{q}(t)，它回傳一個數。

為了找出駐定路徑，我們使用變分法。取真實路徑 q(t)，把它和一條鄰近的擾動路徑 q(t)+\delta q(t) 相比，其中擾動 \delta q 在兩個固定端點處為零。並要求作用量因此產生的變化在一階上為零。

\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\!\left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\,\delta \dot q\right)dt = 0

作用量的一階變分，來自同時擾動 q 與其速度 \dot q。

注意 \delta\dot q = \tfrac{d}{dt}\delta q——改變路徑也會改變它的斜率。
對第二項作分部積分，把時間微分從 \delta q 身上移走。
邊界項 \left[\tfrac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} 為零，因為 \delta q 在兩端皆為零。
剩下的是對每一種 \delta q 的選擇都成立的 \int(\cdots)\,\delta q\,dt = 0。
由變分法基本引理，括號內的量本身必須處處為零。

那個必須為零的括號就是歐拉-拉格朗日方程——拉格朗日力學跳動的心臟。每一個廣義座標對應一條這樣的方程，而每一條都是描述運動的二階微分方程。

\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0

每個座標 q_i 一條方程——不論直角、極座標或你喜歡的任何座標，形式都相同。

m\ddot x = -\frac{dV}{dx}

牛頓第二定律作為歐拉-拉格朗日方程的特例重新出現。

最大的回報是座標無關性：不論你選哪套座標，歐拉-拉格朗日方程的形式都完全一樣，所以你可以用任何方便的變數寫下 L，再照著轉一遍即可。這正是為何一道棘手的牛頓問題，往往變成一道簡短的拉格朗日問題。