登上同一座山的兩條路
牛頓給了我們一部極好的機器：畫出自由體圖、把向量力相加、再套用$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$。它管用——但它逼你追蹤每一個力，包括那些不做有用功、且往往要等你把問題解完才知道大小的約束力（正向力、繩子的張力）。
拉格朗日的重新表述把向量丟掉了。你用單一個純量函數——拉格朗日量 L——來描述系統，接著一條萬用的配方就能在任何合適的座標下產生運動方程，而約束力則被悄悄地自動處理掉。這正是整個現代理論物理所使用的語言。
廣義座標與位形空間
廣義座標是任何一組能確定系統位形的變數 q_1,\dots,q_n。它們不必是長度：對單擺而言，最自然的座標是角度 \theta；對穿在鐵絲上的珠子而言則是弧長。選對能配合幾何的座標，問題就成功了一半。
把座標收攏成單一個點 \mathbf{q}。它不住在普通空間裡，而住在位形空間中——一個每個座標對應一根軸的抽象空間。當系統演化時，那個點描出一條曲線；求運動就是求那條曲線。
\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)
位形空間中的一個點就編碼了整個系統的排列狀態。
自由度與約束
獨立座標的個數就是自由度 f。對 N 個質點原本是 $3N 個，但每一個[[holonomic-constraint|完整約束]]——像 g(\mathbf{q},t)=0$ 這種把座標綁在一起的方程式——都會減掉一個。
f = 3N - c
自由度 = 空間座標數減去完整約束的個數 c。
核心想法：自然是節約的
牛頓的方法一瞬一瞬地向前推進。拉格朗日的方法則一次評判整條路徑。在固定起點與終點之間所有可想像的軌跡中，自然挑出讓單一個量——作用量 S——取駐值的那一條。這就是最小作用量原理。
S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt
作用量是拉格朗日量沿某條候選路徑對時間的積分。
這一行就是整套理論的全部內容。下一篇會把這條原理化為一個你能實際求解的方程；本主題其餘部分則會展示它的觸角有多遠——延伸到守恆律、場論以至量子力學。