哈密頓—雅可比方程
正則變換給了我們一個夢想：若能變換到運動徹底平凡的新座標——每個新動量皆為常數，每個新座標或為常數、或以固定速率推進——會如何？要求新哈密頓量 K 消失，便把這個夢想化為一條關於生成函數 S（稱哈密頓主函數）的單一方程。這就是哈密頓—雅可比方程。
哈密頓—雅可比方程：一條編碼全部動力學的一階偏微分方程。
值得注意的是，S 原來就是沿真實運動求得的作用量本身。當 H 不顯含時間時，S 可分離為 S = W(q) - Et，留下一條關於哈密頓特徵函數 W 的不含時方程。此形式是光學程函方程的力學孿生，也正是WKB 近似作為薛丁格方程古典極限所回收的那個對象。
關於特徵函數 W 的不含時哈密頓—雅可比方程。
作用—角變數
對有界的週期運動，有一個比任何其他變換都更自然的正則變換：變到作用—角變數 (J,\theta)。作用量 J 是軌道在相空間所圍的面積，由一個週期的環積分定義；角 \theta 則是繞軌道等速推進的座標。
作用變數：軌道一週期所圍的相空間面積。
奇妙之處在於 H 只依賴 J，故 J 守恆，而 \theta 以直接由哈密頓量讀出的頻率線性推進——無須詳解軌跡。
在作用—角變數中，作用量固定，角以頻率 ω(J) 纏繞。
拿諧振子試試。其相空間軌道即能量橢圓；所圍面積是個標準結果。接著振盪頻率只需一次求導即得——完全不必積分運動方程。
諧振子的作用量直接給出其能量—頻率關係。
絕熱不變量與舊量子論
作用變數有著近乎魔法般的穩健性。若系統的參數緩慢變化——振盪週期遠短於變化的時間尺度——則即使能量與頻率漂移，J 仍幾乎精確地保持不變。這樣的量便是絕熱不變量。一個緩慢縮短擺線的單擺會保持 J=E/\nu 固定，故其能量與頻率同步上升。
波耳—索末菲量子化條件：作用量以普朗克常數的整數倍出現。
可積性、KAM 與混沌的起始
整潔的作用—角圖像究竟何時存在？一個有 n 個自由度的系統若擁有 n 個「對合的」獨立守恆量——其相互帕松括號皆為零，\{I_j,I_k\}=0——便是可積的。此時作用—角變數存在，運動被侷限於相空間中嵌套的環面上：有序、準週期、永遠可預測。
但大多數系統並非可積。KAM 定理告訴我們在微小擾動下會發生什麼：大部分不變環面存活下來、略微變形，而另一些——具共振頻率者——則瓦解，播下薄薄的混沌層。加大擾動，混沌區域便擴張，直到有序的環面被吞沒。這正是「非線性動力學與混沌」軌道接手之處；整潔的相空間圖像，正是決定論式不可預測性誕生的地方。
接下來通往何方
退一步，看清這個樞紐。劉維定理與系綜帶你進入統計力學；帕松括號到對易子的對應與哈密頓—雅可比／WKB 帶你進入量子力學；作用量的量子化播下了舊量子論；而 KAM 則開啟通往混沌之門。哈密頓力學不只是又一種計算軌跡的方法——它是其餘理論物理所用的共同語言。