帕松括號與正則變換

帕松括號

對相空間上任意兩個函數 f 與 g，帕松括號把它們的導數組合成單一的反對稱量。它看似技術性，卻是在每一句哈密頓陳述底下運轉的代數引擎。

\{f,g\} = \sum_i\!\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)

兩個相空間函數的帕松括號。

它是雙線性、反對稱的（\{f,g\}=-\{g,f\}），並滿足雅可比恆等式——因此相空間上的光滑函數在此括號下構成一個李代數。座標本身則滿足看似簡單卻蘊含整個正則結構的基本括號。

\{q_i,q_j\}=0, \qquad \{p_i,p_j\}=0, \qquad \{q_i,p_j\}=\delta_{ij}

正則座標的基本帕松括號。

演化與守恆，一筆帶過

括號把全部動力學壓縮成一行。任何可觀測量 f 的時間演化，就是它與哈密頓量的括號，再加上任何顯含時的部分。

\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}

任意可觀測量的運動方程。

令 f=q_i 或 f=p_i，便由 \dot q_i=\{q_i,H\} 與 \dot p_i=\{p_i,H\} 重獲哈密頓方程。更有力的是：若 f 不顯含時間且 \{f,H\}=0，則 f 守恆。檢驗運動常數化為單一的括號計算——而帕松定理保證兩個守恆量的括號本身也守恆，有時還能生出新的守恆量。

正則變換

由於相空間幾乎平等地對待 q 與 p，我們擁有極大的更換座標的自由。使哈密頓方程保持正則形式的變換 (q,p)\to(Q,P) 即正則變換——等價地說，就是保持基本帕松括號與辛形式的變換。其全部要旨，是找出讓問題看來平凡的新座標。

系統地建構此類變換的方法是生成函數。譬如選一個混合新舊座標的函數 F_1(q,Q,t)；則舊動量、新動量與新哈密頓量皆由微分而得。（共有四種標準型式 F_1 至 F_4，彼此以勒讓德變換相聯——你挑能配對你想固定的變數的那一種。）

p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \qquad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}, \qquad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}

第一型生成函數及其產生的新哈密頓量 K。

通往量子力學的橋樑

如今來到那份讓研究生在學量子力學之前先學會這一切的獎賞。狄拉克注意到，帕松括號的代數與量子算符的代數在結構上完全相同。把古典可觀測量提升為算符，並以除以 i\hbar 的對易子取代括號——即正則量子化。

\{f,g\} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}\,[\hat f,\hat g]

狄拉克對應：帕松括號化為對易子。

\{q,p\}=1 \;\longrightarrow\; [\hat q,\hat p]=i\hbar

基本括號化為正則對易關係。

基本括號 \{q,p\}=1 化為正則對易關係 [\hat q,\hat p]=i\hbar，也是測不準原理的種子；而古典演化方程 \dot f=\{f,H\} 化為海森堡方程，由哈密頓算符產生時間演化。也要誠實說明保留：這個對應並不完美——算符的排序歧義意味並非每個古典表式都有唯一的量子對應。但通往量子理論的自然門扉，是哈密頓量而非拉格朗日量。