哈密頓流
哈密頓方程所做的不只是移動一個點。在相空間的每個位置上，它們都指定一個速度向量 (\dot q,\dot p)，因而定義出遍佈全空間的速度場。軌跡就是這個場的流線——哈密頓流。我們現在問的不再是單一粒子往哪去，而是整片由所有可能狀態構成的流體如何運動。
劉維定理：體積神聖不可侵犯
如今來到核心結果。取相空間中一個小區域——一團相鄰的初始條件，即一個系綜——讓它流動。它的形狀可被拉成細絲、如麥芽糖般折疊，但其相空間總體積永不改變。這就是劉維定理。
證明只是兩行計算。流保體積，當且僅當其速度場無散度。對哈密頓方程計算該散度，H 的混合偏導數恆等地相消：
\nabla\cdot\dot{\mathbf z} = \sum_i\!\left(\frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i}\right) = \sum_i\!\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\,\partial q_i}\right) = 0
哈密頓流無散度——因此保體積。
所以此流是不可壓縮的，恰如理想流體。等價地說，隨流一同移動所量得的代表點密度保持不變。這句話——相空間密度沿每條軌跡守恆——正是該定理的動力學形式。
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0
對流密度沿流恆定（帕松括號現身——見下一課）。
其下的辛結構
保體積只是表面。更深的真相是：相空間帶有一個辛形式——一種度量各 (q_i,p_i) 配對的有向面積的方式——而哈密頓流恰好保持它。把狀態寫成行向量 \mathbf z=(q_1,\dots,p_n)，哈密頓方程便化為一個優雅的矩陣形式。
\dot{\mathbf z} = \Omega\,\nabla_{\!\mathbf z} H, \qquad \Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}
哈密頓方程的辛（正則）矩陣形式。
保持 \Omega 是比保體積更強、更精細的條件：在多於一個自由度時，它分別約束每個 (q_i,p_i) 的面積（龐加萊不變量），而不只是那個大乘積。這種辛剛性是哈密頓動力學真正的指紋，也是其數值積分器被設計來尊重它的原因。
為何它奠定統計力學——以及關於時間的謎題
劉維定理是統計力學的承重牆。由於任何只透過 H 依賴相空間座標的密度都自動滿足 \{\rho,H\}=0，這樣的分布便是穩態的——它不隨時間演化。單憑這一事實就正當化了平衡系綜：作為能量面上均勻密度的微正則系綜，以及由此推廣的正則系綜。