力學的第三種寫法
牛頓以力來描述力學；拉格朗日則從最小作用量原理重建力學，把運動化為位形空間上的歐拉—拉格朗日方程。哈密頓提供了第三種、完全等價的圖像——而這也是研究生最常倚重的一種，因為它的幾何結構最為豐富。
關鍵的轉變在於什麼算是狀態。拉格朗日力學以位置與速度 (q,\dot q) 描述系統：n 個座標會給出 n 條耦合的二階微分方程。哈密頓力學則改以位置與動量 (q,p) 描述——給出 $2n$ 條一階方程。把變數加倍、階數減半並非表面文章，它產生了一種極為對稱的結構。
以動量換速度——勒讓德變換
首先把廣義（共軛）動量定義為拉格朗日量對各廣義速度的偏導數。對自由粒子而言它退化為熟悉的 mv，但一般情形下它可能與「質量乘速度」毫不相像。
與座標 q_i 共軛的動量。
現在我們想把獨立變數由 \dot q 換成 p。要乾淨地改變一個函數所「依附」的變數，正確工具就是勒讓德變換——這也正是熱力學中把內能轉為自由能所用的同一工具。作用於 L 上，它便產生哈密頓量 H。
哈密頓量即拉格朗日量的勒讓德變換。
哈密頓量通常是什麼
對最常見的情形——不含時的約束、對速度為二次式的動能、與速度無關的位能——哈密頓量恰等於總能量，即動能加位能。這正是為何 H 往往就是系統的能量。
位能場中粒子的哈密頓量——以相空間變數寫出的能量。
把運動看成相空間中的流
重點來了。把所有位置與動量收攏成一個 $2n$ 維空間中的單一點——這就是相空間。系統的整個瞬時狀態就是這一個點。隨時間推進，該點描出一條唯一的曲線；由於方程是一階的，每一點恰有一條軌跡通過：軌跡永不相交。決定論成了幾何。
拿它與位形空間對照：在位形空間中軌跡可以自交——單擺每次擺盪都會兩度通過同一角度，來回各一次。在相空間中這兩次交會被分開了，因為動量（行進方向）如今已是狀態的一部分。沒有資訊被隱藏；完整的未來全編碼在當下這一點中。
正是這一個重新定框，使哈密頓力學成為現代物理的樞紐。一團相空間中的點正是一個統計系綜，因此這幅圖像直接餵入統計力學；而正則的 (q,p) 配對，也恰是量子化為量子力學算符的那個結構。在接下來的四課裡，我們將建起這套機制——哈密頓方程、劉維定理、帕松括號與哈密頓—雅可比理論——並看著每一座橋樑逐一浮現。