度量曲率：黎曼張量
指南 3 暗示了：當空間彎曲時，沿閉迴路平行移動一個向量會使它轉向。黎曼曲率張量 R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} 正是回報那個轉動、每單位迴路面積的機器。它是曲率完整、與座標無關的描述——由克氏符號及其導數構成：
黎曼張量。它是貨真價實的張量：若在一個參考系為零，則在所有參考系皆為零，所以「平坦」是一個誠實、與觀測者無關的陳述。
潮汐力即測地線偏離
回想指南 1：重力真正無法消去的部分是潮汐力——兩個鄰近自由落體的相對加速度。在數學上，那相對加速度由黎曼張量透過測地線偏離方程式所支配，其中 \xi^\mu 是兩條相鄰測地線之間的分離、u^\alpha 是它們的四維速度：
鄰近的自由落體以正比於黎曼張量的量彼此加速靠攏或分離。這就是曲率的物理意義。
這閉合了指南 1 開啟的迴圈。地球高空放下、互相靠攏的兩顆球，以及頭腳相隔、彼此分開的一對，字面上就是鄰近測地線的收斂與發散——而其量由 R^{\mu}{}_{\alpha\nu\beta} 決定。潮汐力就是曲率。這正是等效原理只在局部成立的原因：你能在一點令克氏符號歸零，卻永遠無法在一整個範圍內令黎曼張量歸零。
從黎曼到里奇到愛因斯坦
完整的黎曼張量比場方程式所需的更多。縮並它的一對指標得到里奇張量 R_{\mu\nu}（大略是：一小團自由落體的體積如何收縮）；再縮並一次得到里奇純量 R，一個度量平均曲率的單一數字：
逐次縮並把 20 個分量的黎曼張量提煉成與物質耦合的部分。
該放在場方程式幾何一側的正確組合，是愛因斯坦張量 G_{\mu\nu}。它被設計成自動無散度（\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0，即縮並後的比安基恆等式），這至關重要——它讓方程式白白地就強制了能量與動量的局域守恆：
愛因斯坦張量：曲率的唯一組合，對稱、由度規及其前兩階導數構成、且恆等守恆。
愛因斯坦場方程式
現在把幾何配上它的源。時空的物質與能量含量——質量密度、壓力、動量通量，全部——都打包進應力-能量張量 T_{\mu\nu}。令幾何正比於物質，就得到愛因斯坦場方程式，理論的心臟：
愛因斯坦場方程式。關於度規的十條耦合非線性偏微分方程式；宇宙常數 Lambda 代表真空的能量（暗能量）。
為何是那個常數、那個正負號
比例常數 8\pi G/c^4 並非任意——它由「弱、慢、靜態極限須重現牛頓」這一要求所固定。在該極限下，場方程式的時間-時間分量退化為卜瓦松方程式，即牛頓重力的場形式，把位能與質量密度 \rho 相關聯：
作為場方程式的牛頓重力。與此吻合便固定了愛因斯坦的耦合常數——新理論必須包含舊理論。
所以分母中那看似渺小的 c^4，使重力的耦合異常地弱：得用一整顆行星份量的質量，才能明顯地彎曲時空。同一組方程式，施於不同的 T_{\mu\nu}，就生成理論的每一個預言。在指南 5 中，我們為最簡單而有趣的情形求解它們——球形恆星周圍的真空——於是黑洞與經典驗證便隨之而出。