舞台：時空與它的間隔
狹義相對論教我們不再分開看待空間與時間，而是在四維時空中工作。它的關鍵量是兩個鄰近事件之間的不變間隔 ds——時空中一段人人都同意的「距離」，儘管他們對各自的空間與時間間距意見不合。在狹義相對論的平坦時空中，取直角座標、號差 $(-,+,+,+)$：
閔可夫斯基間隔。時間前的那個負號，正是時空有別於一般四維空間之處。
對於慢於光的有質量物體，ds^2<0，我們定義原時 \tau——沿該世界線攜帶的時鐘實際走過的時間。它就是在物體自身參考系中量得的間隔：
原時是一條世界線的幾何長度。記住這一點——自由落體最終會使它取極大。
度規張量：幾何盡在一物
要描述一個彎曲的時空，我們不能倚賴固定的閔可夫斯基係數。我們讓係數隨位置變動，並把它們打包進度規張量 g_{\mu\nu}。間隔化為對所有座標配對的求和（採愛因斯坦約定：重複指標即求和）：
度規是廣義相對論的主宰物件：給我 g，我就能算出每一段長度、角度、時間與因果關係。
從內部就能量測的曲率
一個被困在空間內部、毫無外部視角的存在，如何能判斷空間是否彎曲？高斯替曲面回答了這個問題：曲率是內稟的，完全在曲面之內做測量即可偵測。畫一個大三角形：在平面上，它的內角和恰為 180^\circ；在球面上，和大於此；在馬鞍面上，小於此。量測半徑 r 的圓周長：在彎曲曲面上，它不等於 2\pi r。
為何時間曲率才是主角
這裡有一個值千金的微妙處。在質量附近，主導慢速物體運動的度規分量，是時間-時間部分 g_{tt}。在弱場極限下，它取如下形式（其中 \Phi 是我們熟悉的牛頓重力位能，例如 \Phi=-GM/r）：
牛頓位能就埋藏在時間流逝的速率裡。井越深（Φ 越負），時鐘走得越慢。
單這一個分量，就替日常慢速物質重現了全部牛頓重力——指南 3 會明白地示範。直觀地說，靜止的蘋果仍在時間中前進；因為它的時鐘在近地面處走得稍慢，它穿越時空的最直路徑便向下彎折，我們就體驗為下落。對光這類快速物體，度規的空間部分貢獻同樣多——這正是為何在指南 5 中，光彎折的量是天真估計的兩倍。
運用度規：升降指標
度規也給了我們在兩種分量之間轉換的工具——逆變（上標）與協變（下標）。它的矩陣逆 g^{\mu\nu} 定義為：
逆度規升指標（V^mu = g^{mu nu} V_nu）；度規本身降指標。這是張量計算的日常文法。
有了度規，我們就能量測任何四維向量的長度、為任何世界線計時、並辨識出分隔因與果的光錐。我們還做不到的，是說出一個自由粒子究竟如何在這幾何中運動。那就是下一份指南：測地線。