整個宇宙只需一個數字
宇宙學原理如此嚴苛，以致一個均勻、等向宇宙的整個幾何都退化為單一個時間的函數：尺度因子 a(t)。想像空間上畫著一張固定的格線，每個星系（大致）坐落在一個固定的格點座標 \chi 上，稱為它的共動位置。膨脹並不使星系在格線上移動；它拉伸的是格線本身。兩星系間真實的（固有）距離，是它們固定的共動間距乘以 a(t)。
固有距離 = 固定的共動間距 × 尺度因子。所有時間相依性都在 a(t) 之中。
習慣上我們令今天 a=1。對距離求導，哈伯定律立刻掉出來：\dot d = \dot a\,\chi = (\dot a/a)\,d，所以退行速度正比於距離，比例常數為 H = \dot a/a。哈伯「常數」不過是一個隨宇宙時間變化的量 H(t) 在今日的值。
哈伯參數是膨脹的相對速率；H_0 = H(今日)。
紅移就是被拉伸的空間
尺度因子賦予紅移一個美妙而字面的意義。光子的波長被格線一同攜帶，所以在發射與觀測之間，它被拉伸的倍率，恰好等於宇宙被拉伸的倍率。取今日 a=1：
一加上紅移，恰好就是自光被發射以來宇宙成長的倍率。
弗里德曼方程式
是什麼決定 a(t) 的節奏？重力。把均勻、等向的度規代入愛因斯坦場方程式，你得到弗里德曼方程式——整個宇宙的運動方程式。第一條把膨脹率與能量密度 \rho、空間曲率 k、宇宙常數 \Lambda 聯繫起來：
第一弗里德曼方程式：膨脹率的平方，由密度、曲率與宇宙常數所驅動。
第二弗里德曼方程式支配膨脹的加速度，而它藏著一個震撼：壓力會加進重力裡。正壓力（普通物質、輻射）使膨脹減速得更厲害，而足夠負的壓力——或一個正的 \Lambda——則使膨脹加速。
加速度方程式。注意壓力 p 與密度並列——負壓力能驅動加速。
臨界密度與空間的形狀
暫且令 \Lambda=0，並問：多大的密度會使空間恰好平坦（k=0）？弗里德曼方程式給出一個特殊值，即臨界密度。把實際密度與它相比，定義了密度參數 \Omega=\rho/\rho_c。
Omega 把密度與臨界值相比；Omega 與空間曲率 k 共同決定幾何。
總 \Omega（把物質、輻射與暗能量作為等效密度加總）決定幾何：\Omega>1 給出閉合、正曲率的空間（三角形內角和鼓過 180^\circ）；\Omega=1 給出平坦空間；\Omega<1 給出開放、馬鞍形的空間。觀測——主要是微波背景——發現 \Omega_{\text{total}}\approx 1、精度在百分之一以內：宇宙在空間上是平坦的，一個驚人且意味深長的結果。
宇宙的三個時期
隨著空間膨脹，不同成分以不同方式被稀釋，這正是把宇宙歷史刻劃成各時期的原因。物質隨體積變稀，\rho_m\propto a^{-3}。輻射變稀更快，\rho_r\propto a^{-4}——一次冪來自體積，另一次來自每個光子紅移到更低能量。宇宙常數（暗能量）則完全不被稀釋：空間成長時它的密度維持固定。
各成分如何隨膨脹被稀釋。下降最慢者終將主導。
把邏輯往前推。當 a 極小時，輻射（a^{-4}）主導——輻射時期。隨著空間成長，物質超越了它——物質時期，星系於此形成。而由於暗能量從不被稀釋，它終將取勝——我們才剛進入的暗能量時期，膨脹於此加速。同樣這三種密度，透過這些標度律來讀，就是宇宙歷史的整個劇情。指南 4 追問那些暗成分究竟是什麼。