電荷守恆——而且是局域的
從一條你早已信任的定律出發：電荷守恆。但要說得精準。電荷不只是「總量」保持不變——它甚至不能在這裡消失、在那裡重現。若某區域內電荷減少，必有等量電流從邊界流出。這種局域記帳，就是 連續方程式。
連續方程式：某點電荷密度下降的速率，等於從該點發散出去的電流。
裂縫：對充電中的電容器，安培定律失效
現在看原始安培定律如何崩壞。取一條正在為 電容器充電的導線，與一個環繞導線的迴路。安培說 \oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}，其中 I_{\text{enc}} 是穿過以該迴路為邊界的「任意」曲面的電流。用一片被導線刺穿的平圓盤封住迴路：電流是 I。改用一個鼓向電容器「兩板之間」的氣球狀曲面封住——那裡沒有電荷穿越：電流是 $0$。同一個迴路，兩個答案。
馬克士威的修補
馬克士威的洞見：兩板之間沒有移動的電荷，但當電容器充電時，「確實」有一個快速變化的電場。他提出，變化的 \mathbf{E} 就像真實電流一樣，是 \mathbf{B} 的一個源。他把 \varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t 稱為 位移電流。穿過鼓起曲面的位移電流通量，正好就是那個「不見了」的 I——一致性恢復了。
位移電流密度，以及穿過某曲面的位移電流——是變化的 E 通量，而非電荷的流動。
這個修補不是碰運氣打的補丁，而是被「逼」出來的。對完整的安培—馬克士威定律取散度。左邊恆等於零（任何旋度的散度都是零），右邊剩下的正好就是連續方程式。馬克士威那一項，正是讓磁的定律與電荷守恆相容的那一項——不多，不少。
對安培—馬克士威定律取散度，重新生出連續方程式——電荷守恆如今已內建其中。
回報：光
有了新項，空無一物的空間不再是惰性的。在沒有電荷與電流的區域，對法拉第定律取旋度，用恆等式 \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}，並以安培—馬克士威定律代入 \nabla\times\mathbf{B}。因為真空中 \nabla\cdot\mathbf{E}=0，第一項消失，剩下一個波動方程式屹立不倒。
推導演練。（1）\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\dfrac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})。（2）真空中左邊為 \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E} = -\nabla^2\mathbf{E}。（3）右邊為 -\dfrac{\partial}{\partial t}\big(\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t\big)。（4）令兩邊相等：\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\partial^2\mathbf{E}/\partial t^2。一段完全對稱的計算對 \mathbf{B} 給出同樣的方程式。
真空中 E 的波動方程式，以恰好等於光速的速度傳播。B 場滿足完全相同的方程式。
少了那多出來的一項，就沒有波——場會惰性地待著不動。有了它，馬克士威在紙上預言了 電磁波，比赫茲在實驗室裡產生並偵測到無線電波早了數十年。放錯一個符號、漏掉一個 \varepsilon_0，整個電磁波譜就會蒸發。位移電流承載的分量，就有這麼重。