兩種語言，同一內容
馬克士威方程組有兩套裝扮。積分形式談穿過某曲面的通量、繞某迴路的環流——是靠對稱性求值的全域陳述。微分形式談單獨一點——是局域定律，即使在沒有對稱性可用的地方也成立。連接兩者的橋樑，是向量微積分的兩條定理。
\oint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A} = \int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV \qquad\text{and}\qquad \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}
散度（高斯）定理與旋度（斯托克斯）定理——把曲面／迴路的陳述轉成逐點陳述的機器。
高斯定律：電荷是 E 的源
逐條走過方程式時，把這張圖當作對照參考。穿過任何封閉曲面的 電通量，等於其中所包電荷除以 \varepsilon_0。用散度定理，這句話就變成局域的：某點 \mathbf{E} 的散度，就是該點的電荷密度。點電荷的平方反比律其實正是從這裡來的——它是唯一具有正確通量的球對稱場。
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}
高斯定律：左為積分形式（通量），右為微分形式（散度）——是同一條定律。
沒有磁單極
穿過任何「封閉」曲面的 磁通量恰好為零：進去多少力線就得出來多少。局域地說，\mathbf{B} 在任何地方都沒有散度。這就是 磁場的高斯定律，也是「沒有孤立磁荷」——沒有不帶南極的北極——這句話的數學說法。每一條磁力線都是閉合迴路。
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0
沒有淨磁通量穿出任何封閉曲面——迄今從未觀測到磁單極。
法拉第與安培—馬克士威：動力學二重奏
兩條旋度方程式，是場活起來的地方。法拉第定律：變化的磁通量驅動一圈環流的電場——這是每一台發電機背後的原理。加了馬克士威修正的 安培定律：電流「以及」變化的電通量，驅動一圈環流的磁場。每個場一旦變化，就伸出手創造出另一個場的迴路——正是這個機制讓它們手牽手飛出去成為一道波。
\begin{aligned} \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} &= -\dfrac{d\Phi_B}{dt} & &\Longleftrightarrow & \nabla\times\mathbf{E} &= -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \\[4pt] \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} &= \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt} & &\Longleftrightarrow & \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}
法拉第定律與安培—馬克士威定律的積分與微分形式。右下角最後一項就是位移電流。
跨越邊界的銜接
真實問題都有交界面——導體表面、透鏡的一面。就在界面處場可以跳變，但不能隨意跳：把四條方程式套用到一個跨越界面的扁盒與窄迴路上，就精確地釘死了跳法。\mathbf{E} 的平行分量與 \mathbf{B} 的垂直分量平滑通過；\mathbf{E} 的垂直分量因任何面電荷而跳變，\mathbf{B} 的平行分量因任何面電流而跳變。
\begin{aligned} E^{\parallel}_{\text{above}} &= E^{\parallel}_{\text{below}}, & B^{\perp}_{\text{above}} &= B^{\perp}_{\text{below}}, \\[4pt] E^{\perp}_{\text{above}} - E^{\perp}_{\text{below}} &= \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}, & B^{\parallel}_{\text{above}} - B^{\parallel}_{\text{below}} &= \mu_0\,K \end{aligned}
由馬克士威方程組導出的邊界條件：σ 是面電荷密度，K 是面電流密度。