大統一：四條方程式，一個場

一套理論，而非五條規則

在第一冊裡，你把電磁學當成一組互不相干的規則來學：算電荷間作用力的庫侖定律、算通量的高斯定律、算感應的法拉第定律、以及算磁場的安培定律與必歐—沙伐定律。它們都管用，卻像各自獨立的手藝。馬克士威的成就，是看出這些全都是同一個對象——電磁場——的不同側面，並由馬克士威方程組統一描述。

登場角色：兩個場，兩種源

每一點都坐著兩個向量場：電場 \mathbf{E} 與磁場 \mathbf{B}。有兩種東西攪動它們：電荷密度 \rho 與電流密度 \mathbf{J}。丟一個試驗電荷進場裡，它會感受到勞侖茲力——這是唯一一條告訴場如何推動物質的定律。

\mathbf{F} = q\,\big(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\big)

勞侖茲力：電的部分沿 E 方向推；磁的部分垂直於速度側推，不作功。

注意分工。馬克士威四條方程式管源如何製造場；勞侖茲力管場如何回頭作用在電荷上。兩者合起來，物質與場之間的迴路就閉合了。磁力項 q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} 垂直於運動方向，因此靜磁場永遠不改變粒子的動能——這是值得記住的一點。

四條定律一覽

用白話說：(1) 電荷是 \mathbf{E} 發散出去的源；(2) 沒有磁荷，所以 \mathbf{B} 從不發散——它的力線永遠閉合；(3) 變化的磁場會在自己周圍纏出一圈電場；(4) 電流「以及」變化的電場，會在自己周圍纏出一圈磁場。再讀一次第四條——那後半句是馬克士威親手加上的，也正是光之所以存在的原因。

\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\mathbf{E} &= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\[4pt] \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0, & \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}

真空中（微觀形式）的馬克士威方程組，SI 單位。左欄：散度（源）。右欄：旋度（動力學）。

為何這改寫了物理學

在空無一物的空間裡把兩條旋度方程式結合起來，每個場都滿足一個波動方程式。波速完全由兩個實驗室測得的常數——電容率 \varepsilon_0 與磁導率 \mu_0——決定，算出來剛好等於實測的光速。結論無可迴避：光就是一種電磁波，整個光學都只是電磁學的一章。

c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}} \approx 2.998\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}

光速從純粹的電與磁的常數中浮現——馬克士威把電磁學通往光學的驚人橋樑。

這裡還藏著更深的裂縫。由於 c 是由方程式本身決定、不指涉任何特定觀察者，馬克士威理論悄悄地與伽利略相對性不相容——每個參考系裡都是同一個 c，正是愛因斯坦後來長成狹義相對論與光速不變性的那顆種子。稍後我們會用馬克士威方程組的協變形式把這個結構講明白；此刻只需注意：這四行字裡已經孕育著相對論。