原子從不靜止
即使在絕對零度，量子力學也不允許晶體的原子完全靜止——它們保有零點運動。在任何有限溫度下，它們都在平衡位置附近振盪。只要位移很小，每個原子感受到的回復力都與其位移成正比，於是整個晶體便是一個巨大的耦合諧振子系統。將它對角化便得到簡正模：全體原子以同一共享頻率運動的集體振動。這就是 諧振（小振盪）近似——值得誠實指出，因為那些微小的非諧修正，正是造成熱膨脹與有限熱導率的原因。
一維鏈與其色散關係
最乾淨的例子：一條由間距 a 的相同質點 m 組成的鏈，每個質點以勁度為 K 的彈簧與鄰居相連。原子 n 的牛頓第二運動定律把它與原子 n\pm1 耦合起來。由於鏈是週期性的，我們嘗試行波解 u_n = A\,e^{i(qna-\omega t)}；代入後，無窮多條耦合方程便化為頻率 \omega 與波向量 q 之間的單一代數關係——即 色散關係。
單原子鏈中一個原子的運動方程（僅最近鄰彈簧）。
聲學色散關係：在 q=0 附近呈線性（如聲波），在區邊界 q=\pm\pi/a 處變平。
從曲線上讀出物理。在 q=0 附近頻率呈線性，\omega \approx a\sqrt{K/m}\,|q|：這些長波長模就是普通的 聲波，其斜率即聲速。在布里淵區邊界 q=\pi/a 處曲線變平，群速度 d\omega/dq 降為零，波成為駐波——原子被晶格布拉格反射，正如第 1 篇所述。注意 q 與 q+2\pi/a 描述完全相同的運動，因此所有相異的模都容納在一個布里淵區之內。
將模量子化：聲子
每個簡正模都是一個獨立的諧振子，量子力學將其能量量子化為 \hbar\omega 的整數倍。晶格振動的一個量子就是一個聲子——聲的粒子，正如光子是光的粒子。頻率為 \omega、含 n 個聲子的模，其能量為 (n+\tfrac12)\hbar\omega；那個 \tfrac12 就是永不消失的零點能。聲子是玻色子：任意數目都可佔據同一個模，遵循玻色–愛因斯坦統計。
含 n 個聲子的簡正模能量；n 是聲子佔據數。
熱容：古典物理失效之處
古典的能量均分定理預測莫耳熱容為與溫度無關的 $3R$（杜隆–珀蒂定律）——而這在低溫下嚴重錯誤，因為每一個實測固體的熱容都平滑地降至零。解答是量子性的：當 k_BT 降到 \hbar\omega 以下，高頻模根本無法被激發——它們被「凍結」了。德拜把固體模型化為具有線性色散、直到某截止頻率的聲子氣體，給出了著名的低溫結果。
德拜 T^3 定律：絕緣體的聲子熱容在低溫下以 T^3 趨於零。
對德拜模型要誠實：它是一個近似——單一線性支、在德拜溫度 \Theta_D 處的銳利截止、沒有真正的色散。它準確給出 T^3 標度，也能平順內插到高溫的古典 $3R$，但真實聲子譜有聲學 與 光學兩種支及複雜結構，如今可由非彈性中子散射直接量測。要帶走的教訓是：每當古典預測給出一個常數、而實驗顯示某物凍結趨零時，就該懷疑是能量量子 \hbar\omega 在作祟。下一篇的電子將講述同一個故事。