從原子到平滑的場
真實固體是 10^{23} 個相互推擠原子的晶格。連續體假設把這團原子換成平滑的場——密度 \rho(\mathbf{x})，以及最關鍵的、每一點都有一個位移 \mathbf{u}(\mathbf{x})——只要我們觀察的尺度遠大於原子、卻又遠小於整個物體，它就成立。這與把個別分子化為具有平滑壓力與速度場的流體是同一種跨越。
關鍵變數是位移場 \mathbf{u}(\mathbf{x})：原本位於 \mathbf{x} 的物質點移動了多遠。但 \mathbf{u} 本身並不會累積內力——把整個物體拿起來平移，什麼也沒被施力。真正要緊的，是 \mathbf{u} 如何在各點之間變化。
應變：度量變形
變形存在於梯度 \partial u_i/\partial x_j 之中。但這個梯度並非全都是真實應變：它的反對稱部分只是局部的剛性轉動，不儲存能量。只保留對稱部分，就分離出真正的拉伸與剪切——應變張量：
應變張量——位移場的對稱梯度；無因次，且在一般彈性變形下很小。
它的對角元 \varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33} 是正向應變——沿各軸的相對拉伸量。它的非對角元是剪應變——物質歪斜時各軸之間夾角的改變。而跡 \varepsilon_{kk}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} 正是體積的相對變化（膨脹量）。
應力：跨越面的內力
現在談力。用一個假想平面切開物質；兩側以單位面積的力互相推拉——即面力（應力向量）。這個面力取決於切面的方向。柯西的洞見是：面力對切面的單位法線 \mathbf{n} 是線性的，由應力張量居中連結：
柯西應力原理——法線為 \mathbf{n} 的面上所受的面力（單位面積的力）；\sigma_{ij} 是法線沿第 j 軸的面上、第 i 個力分量。
對角的 \sigma_{ii} 是正向應力——為負時是壓力、為正時是張力。非對角的是剪應力。而 \sigma_{ij}=\sigma_{ji} 並非假設：它來自對一個收縮元素的角動量平衡——不對稱的應力會讓一個微小立方體無止境地旋轉起來。所以應力和應變、慣量一樣，是一個具六個獨立分量的對稱二階張量。
三維中的虎克定律
應變說明物體如何變形；應力說明它承載什麼力。連接兩者的橋樑是材料的本構關係。第一冊裡虎克定律是 F=-kx，一根彈簧。它在連續體中的後裔是兩個張量之間的線性關係，由四階彈性張量 C_{ijkl} 承載，最多含 21 個獨立彈性常數：
廣義虎克定律；C_{ijkl} 是彈性（剛度）張量，編碼材料全部的彈性性質。
二十一個常數聽來嚇人，但對稱性拯救了我們。對各向同性材料——各方向都相同，如玻璃或無定向的鋼——整個張量塌縮成僅兩個數字，即拉梅參數 \lambda 與 \mu：
各向同性虎克定律：\mu（剪切模數）抗拒形狀改變，而 \lambda 把應力繫於體積變化 \varepsilon_{kk}。
你熟悉的工程模數只是這兩者的組合。楊氏模數 E（單純拉伸下的剛度）與帕松比 \nu（拉伸時側向變細多少）為：
由兩個拉梅參數還原出的日常彈性模數。
固體的運動方程
最後，牛頓第二定律作用在一個微小物質元素上：它的質量乘加速度，等於淨內力（應力張量的散度）加上任何體力 f_i（例如重力）。這就是柯西動量方程：
柯西運動方程——連續體版本的 ma=F，應力張量的散度即單位體積的淨內力。
這是連續體的主方程。丟掉加速度，它主宰靜力學——受載的橋、彎曲的梁、受應力的水壩。保留加速度並代入虎克定律，它——如下一篇所示——就化為一個波動方程，聲音於焉誕生。