歐拉方程、自由陀螺與陀螺儀

實驗室座標系的麻煩

轉動遵守牛頓轉動定律：角動量的變化率等於力矩。在慣性（實驗室）座標系中，它就是下面這麼簡單。

\left.\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right|_{\text{lab}} = \boldsymbol{\tau}

牛頓轉動定律——精確，卻不好用，因為在實驗室座標系中，慣量張量會隨物體轉向而不斷改變。

麻煩之處在於 \mathbf{L}=\mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}，但當物體轉動時，\mathbf{I} 在實驗室座標系裡的分量不停改變。解方是坐進隨體座標系——即隨物體一起旋轉的座標系。在那裡慣量張量是常數（就是三個主慣量），代價是我們得在一個轉動的、非慣性的座標系中工作。

輸運定理與歐拉方程

從轉動座標系看到的任何向量，其時間導數多出一項：輸運定理指出 (d/dt)_{\text{lab}} = (d/dt)_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega}\times。把它作用在 \mathbf{L} 上：

\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{L} = \boldsymbol{\tau}

同一條物理定律搬進轉動的隨體座標系；多出的 \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{L} 項，就是離開慣性座標系所付的代價。

現在選用物體的主軸，使 \mathbf{L}=(I_1\omega_1,\,I_2\omega_2,\,I_3\omega_3)，三個慣量皆為常數。逐分量寫開這條方程，就得到著名的一組式子：

\begin{aligned} I_1\dot{\omega}_1 &= (I_2 - I_3)\,\omega_2\omega_3 + \tau_1 \\ I_2\dot{\omega}_2 &= (I_3 - I_1)\,\omega_3\omega_1 + \tau_2 \\ I_3\dot{\omega}_3 &= (I_1 - I_2)\,\omega_1\omega_2 + \tau_3 \end{aligned}

歐拉剛體運動方程——三條互相耦合、非線性的方程，描述隨體座標系中的角速度。

無力矩陀螺：沒有外力的擺動

令 \boldsymbol{\tau}=0——一個在空間中自由旋轉的物體，或一顆沒有外力偶的行星。令人驚訝的是，軸仍能移動。對對稱陀螺（I_1=I_2\neq I_3），歐拉方程顯示 \omega_3 保持不變，而 \omega_1、\omega_2 穩定地旋轉：自轉軸在隨體座標系中掃出一個圓錐。這就是無力矩進動，其速率為

\Omega_{\text{body}} = \frac{I_3 - I_1}{I_1}\,\omega_3

自由旋轉的對稱陀螺中，自轉軸在隨體座標系裡繞行的速率——唯有物體球對稱（I_3=I_1）時才為零。

地球就是一個真實例子。它略呈扁球狀（I_3 比 I_1 稍大），故此式預測其自轉軸有約 305 天週期的自由擺動——即「歐拉週期」。這種擺動確實被觀測到，但週期約為 433 天：即錢德勒擺動。這個落差是誠實的物理、而非誤差——地球並非完全剛硬，其彈性變形拉長了週期。

受重的陀螺儀：重力下的進動

現在把旋轉的陀螺撐在質心下方的一點，讓重力施加力矩。對快陀螺，角動量幾乎全沿自轉軸，\mathbf{L}\approx I_3\omega_3\,\hat{\mathbf{n}}。重力力矩 \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times M\mathbf{g} 指向水平方向，垂直於 \mathbf{L}。垂直的力矩無法改變 \mathbf{L} 的長度，只能擺動它的方向——於是軸繞著圓錐向側面掃動，而不是倒下。

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau} \;\Longrightarrow\; \Omega_{\text{prec}} = \frac{\tau}{L\sin\theta} = \frac{Mgr}{I_3\,\omega_3}

穩定的陀螺進動速率——值得注意的是，它與傾角 \theta 無關，並且隨自轉 \omega_3 增大而變慢。

真實的陀螺還會上下點頭——一種又快又小的顫動，稱為章動——疊加在平滑的進動之上。摩擦通常在片刻內就把點頭衰減掉，只留下公式所描述的穩定掃動。

範例：腳踏車輪進動得多快？

設定一個示範案例。假設一個質量 M=2\ \text{kg}、半徑 r=0.33\ \text{m} 的腳踏車輪，以每秒 $10$ 圈旋轉，並用軸的一端懸掛，該端距輪心 \ell=0.10\ \text{m}。
把它當成圓環。幾乎全部質量都在輪緣，故自轉慣量為 I_3\approx Mr^2 = 2\times0.33^2 \approx 0.22\ \text{kg·m}^2。
自轉角動量。\omega_3 = 2\pi\times10 \approx 63\ \text{rad/s}，故 L = I_3\omega_3 \approx 0.22\times63 \approx 14\ \text{kg·m}^2/\text{s}。
繞支點的重力力矩。\tau = Mg\ell = 2\times9.8\times0.10 \approx 2.0\ \text{N·m}。
進動速率。\Omega = \tau/L \approx 2.0/14 \approx 0.14\ \text{rad/s}——約每 45 秒緩慢轉一圈。把輪子轉得更快，它反而進動得更慢，這正是為何高速旋轉的陀螺儀看起來幾乎凍結不動。

這些具體數字是取整的假設，但比例關係 \Omega\propto 1/\omega_3 是精確的，正是陀螺羅盤、相機穩定器，以及讓太空船指向的反作用輪背後的全部原理。