慣量張量與慣量主軸

一個數字不夠用

第一冊裡，轉動慣量對固定軸的轉動是單一數字 I：L = I\omega，能量是 \tfrac{1}{2}I\omega^2。只要軸被釘死，這一切都很漂亮。但拋過房間的扳手、或在軌道上翻滾的衛星，都沒有被釘死的軸。軸本身在動，而繞不同方向的轉動遭遇不同的慣性。單一數字再也無法刻畫它。

本篇的核心事實是：一般而言，角動量 \mathbf{L} 與角速度 \boldsymbol{\omega} 不平行。把一個不平衡的物體彈進旋轉，\mathbf{L} 指一個方向、\boldsymbol{\omega} 指另一個；當物體轉動時，\boldsymbol{\omega} 繞著 \mathbf{L} 追逐，於是軸明顯地擺動。要把兩個不平行的向量連起來，我們需要一部既能縮放又能旋轉的機器——一個張量。

建立慣量張量

把每個質量元的角動量加總，\mathbf{L}=\sum m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}，代入剛體速度場 \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}，並展開雙重叉積。掉出來的是 \boldsymbol{\omega} 與 \mathbf{L} 之間的線性關係，係數匯集成一個 3\times3 陣列——慣量張量。對連續物體，它的分量是對質量的積分：

I_{ij} = \int \rho(\mathbf{r})\,\bigl(r^2\,\delta_{ij} - x_i x_j\bigr)\,dV

慣量張量的分量：對角元是熟悉的轉動慣量，非對角元是慣量積。

對角元正是你認識的轉動慣量——例如 I_{xx}=\int\rho\,(y^2+z^2)\,dV，即抗拒繞 x 軸旋轉的量。非對角元，如 I_{xy}=-\int\rho\,xy\,dV，是慣量積；它們度量質量分佈有多歪斜，也正是它們把 \mathbf{L} 從 \boldsymbol{\omega} 拉偏。由於 I_{ij}=I_{ji}，張量是對稱的：六個獨立數字，而非九個。

\mathbf{L} = \mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}

慣量張量是把角速度轉成角動量的機器——相當於 \mathbf{p}=m\mathbf{v} 的轉動版本，只是把純量質量換成了張量。

張量是一部機器

「二階張量」的操作意義就是這樣：餵它一個向量，它還你一個向量，通常被旋轉又縮放。慣量張量吃進 \boldsymbol{\omega}，交給你 \mathbf{L}。改變座標軸，它的九個分量也隨之改變，但依循固定的規律 \mathbf{I}' = R\,\mathbf{I}\,R^{\mathsf T}，使得物理關係 \mathbf{L}=\mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega} 在每個座標系都成立。正是這條變換律，讓 \mathbf{I} 成為真正的張量，而不是隨便一個矩陣。

主軸：讓張量對角化

由於 \mathbf{I} 是實對稱的，線性代數的一條定理保證它能被對角化：總存在三根互相垂直的主軸，使每個慣量積都歸零。繞其中之一旋轉，\mathbf{L} 又與 \boldsymbol{\omega} 平行了——不再擺動。找出它們是一個特徵值問題：

\mathbf{I}\,\hat{\mathbf{e}}_a = I_a\,\hat{\mathbf{e}}_a, \qquad a = 1,2,3

主軸是慣量張量的特徵向量；主慣量 I_1,I_2,I_3 是它的特徵值。

你很少需要硬啃代數，因為對稱性直接給你答案：任何轉動或鏡射對稱軸自動就是主軸。均勻球的每一根軸都是主軸（三個慣量相等）；像圓柱或鐵餅這樣的對稱陀螺，其對稱軸加上任兩根垂直於它的軸即為主軸，三個主慣量中有兩個相等。在主軸座標系裡，轉動能量失去所有交叉項：

T = \tfrac{1}{2}\bigl(I_1\omega_1^2 + I_2\omega_2^2 + I_3\omega_3^2\bigr)

在主軸座標系中，轉動能量漂亮地對角化——只剩三個平方項，每軸一個。

平移轉軸：平行軸定理

上面的張量是對質心定義的，但物體常繞著別的點轉動——門繞鉸鏈、擺繞支點。平行軸定理的張量版本，把參考點平移一段位移 \mathbf{d}：

I_{ij} = I_{ij}^{\text{cm}} + M\bigl(d^2\,\delta_{ij} - d_i d_j\bigr)

對距質心 \mathbf{d} 的一點所算的慣量張量——即熟悉的 I = I_{\text{cm}} + M d^2 的張量推廣。

範例：平板的慣量主軸

取一片質量為 M、邊長 a 與 b 的均勻薄矩形板。求它的主軸與主慣量。

先用對稱性猜。把 x、y 沿板的兩邊、z 垂直於板，原點置於中心。對稱性暗示它們就是主軸——現在來驗證。
檢查慣量積。例如 I_{xy}=-\int\rho\,xy\,dA。板在 x\to-x 下對稱，故被積函數為奇函數、積分為零。又因每一點都有 z=0，I_{xz} 與 I_{yz} 也歸零。所有慣量積皆為零，故 $x,y,z$ 就是主軸。
計算對角慣量。標準積分給出 I_1=\tfrac{1}{12}Mb^2（繞 x）、I_2=\tfrac{1}{12}Ma^2（繞 y）、I_3=\tfrac{1}{12}M(a^2+b^2)（繞 z）。
合理性檢查。注意 I_3 = I_1 + I_2。這條垂直軸關係對任何平面薄片都成立，是抓算術錯誤的快捷法。
解讀物理。若 a>b，最小的慣量是 I_1，故該板最容易繞沿長邊的軸旋轉、最難繞垂直的 z 軸旋轉。三個慣量各不相同，因此這是一個不對稱陀螺——即下一篇最一般的情形。

這個教訓可以推廣：先善用對稱性。任何對稱平面都迫使其法線成為主軸，讓你完全省下特徵值的計算。