量化敏感依賴
至今「敏感依賴」只是一幅圖像。要做物理，我們需要一個數字。取兩條相距微小距離 |\delta\mathbf{x}_0| 的軌跡，觀察其間隙如何演化。在混沌系統中，它平均而言以指數成長。
鄰近軌跡的間距沿運動平均後，以速率 λ 指數成長（或收縮）。
此速率 \lambda 就是李雅普諾夫指數。嚴謹定義時，我們令初始間距趨於零（以停留在線性區），並令時間趨於無窮（以在整個吸子上平均）。
（最大）李雅普諾夫指數：無限接近的軌跡彼此分離之長時間平均指數速率。
正負號的意義
\lambda 的正負號分類了運動。\lambda < 0：鄰近軌跡收斂——系統奔向穩定不動點；\lambda = 0：鄰居既不分離也不合併——穩定極限環或準週期運動；\lambda > 0：鄰居指數分離——混沌。一個 n 維系統其實有 n 個指數構成的譜；只要有一個為正，就足以使系統混沌。
映射的李雅普諾夫指數
對一維映射，指數有一個乾淨、可計算的形式：每一步把間距乘上 |f'(x_n)|，因此平均成長率就是 \ln|f'| 沿軌道的長期平均。
對迭代映射，李雅普諾夫指數是對數斜率沿軌道的平均。對 r = 4 的邏輯斯映射，它恰等於 ln 2 > 0——可證明為混沌。
正指數有個生動的意義：在 r = 4，\lambda = \ln 2 意味映射每迭代一次就損失關於初始條件的一個位元。把 x_0 知道到 30 個二進位位，30 步後你便一無所知。這就是預測地平線背後的算術。
混沌的工作定義
龐加萊截面：從流動到映射
三維中的混沌軌跡是一團糾結的毛線——什麼也看不清。龐加萊的妙招：在相空間中放一個平面，只記下軌跡穿過它的點（且只取某一穿越方向）。連續流動便塌縮為降一維的離散龐加萊映射——把三維流動化為我們真能研究的二維映射。
截面上的圖案就是一份診斷。週期軌道留下有限個點；準週期軌道填出一條光滑封閉曲線；混沌軌道則灑出一片有結構的碎形點雲——秩序與混沌一眼便見分曉。
回到雙擺
回到我們開場的例子，把工具實地運用。追蹤兩個幾乎相同的起始，量測間隙成長的快慢：\ln|\delta\mathbf{x}| 對時間的斜率即可估出 \lambda。關鍵是，雙擺並非處處混沌：輕輕擺動時它近乎規則；給它足夠能量翻越頂端，它便變得混沌。同一個系統，端看你身處相空間何處，可規則可混沌。
哈密頓混沌與 KAM 定理
保守混沌自有其優美的理論。可積系統——守恆量與自由度一樣多的系統——把全部運動整齊地纏繞在相空間的不變環面上（想像層層嵌套的甜甜圈）；毫無混沌可言。擾動它，問題便是那些環面是否倖存。
KAM 定理（柯爾莫哥洛夫–阿諾德–莫澤）作出回答：在足夠小的擾動下，大多數環面倖存，僅略微變形，而共振的環面則碎裂成薄薄的混沌層，並隨擾動加大而增厚。這支配著太陽系的長期穩定、加速器與融合電漿中粒子的束縛，以及近可積系統各處混沌的萌生。