當定性行為改變時
真實系統都配有旋鈕：流量、溫度、驅動強度。分岔是這類控制參數的某個值，在該處動力學的定性結構驟然改變——不動點出現或消失、或互換穩定性，或穩態讓位給振盪。一根樑平順承載直到挫曲、一台雷射在閾值前一片漆黑、一個族群突然崩潰：全都是分岔。
分岔之所以重要，是因為系統正是在此重組——它們是臨界轉折點。而少數幾個由簡單標準式所刻畫的基本分岔，就描述了極其廣泛的物理轉變。
基本分岔
四種類型無處不在。鞍結分岔憑空生成或消滅一對不動點；跨臨界分岔交換兩個始終存在的不動點的穩定性；叉狀分岔以兩個互為鏡像的態取代一個對稱態；霍普夫分岔把一個穩定不動點變成一個小小的極限環——一個開始振盪的穩態。
標準式。鞍結分岔在 r > 0 時有兩個不動點，r < 0 時一個也沒有。叉狀分岔的單一態 x* = 0 在 r 越過零時裂成兩個 ±√r。
叉狀分岔值得駐足：r < 0 時唯一的平衡是 x^* = 0 且穩定；當 r 越過零，它變得不穩定，兩條穩定分支 x^* = \pm\sqrt{r} 出現。系統必須選擇其一——這正是自發對稱破缺的圖像，從挫曲的柱子選邊、到鐵磁體選定方向皆然。
映射：離散時間的動力學
為了在最簡單的場景中抵達混沌，我們從連續流動切換到迭代映射，此時時間以離散步伐前進：x_{n+1} = f(x_n)。映射的出現很自然——每年一次的族群普查、每個驅動週期取樣一次的受驅振子（龐加萊截面，第四篇）。此時不動點滿足 x^* = f(x^*)。
對映射而言，穩定性由乘子 |f′(x*)| 決定：每一步擾動被乘上 f′，故唯有 |f′| < 1 才衰減。臨界值是 1，不是 0。
邏輯斯映射
最著名的例子是邏輯斯映射，一個食物有限之族群的玩具模型：成長 r x_n 受擁擠 -r x_n^2 抑制。儘管簡單得像兒戲，它卻蘊含整條通往混沌之路。
邏輯斯映射。x 是佔上限比例的族群數量；r 是成長率。一個參數，無盡的行為。
- 建立不動點條件。 要求 x^* = r x^*(1 - x^*)。一個根是 x^* = 0；其餘除以 x^* 得 1 = r(1 - x^*)，即 x^* = 1 - 1/r（唯有 r > 1 時才有物理意義）。
- 計算乘子。 求導：f'(x) = r - 2rx = r(1 - 2x)。此斜率在各不動點取值，決定其穩定性。
- **檢驗滅絕態（x^* = 0）。** 此處 f'(0) = r，故空族群態唯有 r < 1 時穩定：成長率低於臨界值，族群便消亡。r = 1 時它失去穩定。
- **檢驗存活態（x^* = 1 - 1/r）。** 此處 f' = r\bigl(1 - 2(1 - 1/r)\bigr) = 2 - r。當 |2 - r| < 1，即 $1 < r < 3$ 時穩定：族群穩定在單一定值。
- 找出第一次分岔。 在 r = 3，乘子達到 f' = -1。不動點失穩，一個穩定的週期 2 循環誕生——族群此後在豐年與歉年之間交替。這是第一次倍週期。
倍週期與費根鮑姆級聯
把 r 推得更高，倍週期一波波湧來，愈來愈快：週期 2 在 r \approx 3.449 變成 4，接著 8、16、32……分岔值 r_n 以幾何級數堆疊，累積於 r_\infty \approx 3.5699。其後便是混沌——非週期的遊走——其間穿插著狹窄的秩序窗口，最著名的是 r \approx 3.83 附近的週期 3 窗口。
費根鮑姆常數：相鄰分岔間距之比收斂到一個普適數字，對一大類映射皆相同。
拉伸與折疊
在 r = 4，邏輯斯映射完全混沌——單一的一維映射，不需三維，正如龐加萊–本迪克森定理所允許。使它混沌的，是拋物線兩段式的作用：它把鄰近點拉伸分開（帶來敏感依賴），又把區間折疊回自身（讓一切被限制在 [0,1] 內）。