精細與超精細結構

相對論悄悄登場:自旋-軌道耦合

仔細看一條譜線,它往往分裂成兩條或更多條非常接近的成分。這種精細結構比粗結構小約 10^4 倍,起源是相對論性的。主要部分是自旋-軌道耦合:在電子自身的參考系中,原子核繞著它轉,形成一個電流迴路、因而產生磁場;電子的自旋磁矩在那個磁場中的能量,取決於自旋與軌道是同向還是反向。

H_{\text{SO}} = \xi(r)\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}, \qquad \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} = \tfrac12\big[J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)\big]\hbar^2

自旋-軌道哈密頓量把 \mathbf{L} 與 \mathbf{S} 耦合;它的能量透過 \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} 依賴 J,這正是同一譜項但不同 J 的能級會分裂的原因。

精細結構常數

這些分裂的大小,由物理學最著名的純數之一——精細結構常數 \alpha——決定。它衡量電磁交互作用的強度,支配整個原子能量尺度的層級:粗結構 \sim \alpha^2 mc^2,精細結構再小 \alpha^2 倍。

\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137}

精細結構常數——它是無因次的,因此任何觀者與單位系統都同意它的值。精細結構約為粗能量的 \alpha^2 \approx 5\times10^{-5} 倍,這正是分裂如此微小的原因。

狄拉克的相對論方程重現了完整的精細結構公式,而且以驚人的精度只依賴 n 與 J、不個別依賴 \ell。仍留有一道著名的裂縫:狄拉克預測 2S_{1/2} 與 2P_{1/2} 完全簡併的態,實際上略有分裂——蘭姆位移——這個微小效應只能由量子電動力學解釋,並幫助啟動了整個量子場論的計畫。

超精細結構:原子核也發聲

再放大,每個精細結構能級本身又分裂,再細約一千倍。這種超精細結構源自電子角動量 \mathbf{J} 與核自旋 \mathbf{I} 之間的耦合:原子核有自己微小的磁矩,它與電子的交互作用定義出新的總角動量 \mathbf{F}=\mathbf{J}+\mathbf{I}。它比精細結構小約質量比 m_e/m_p \sim 1/2000,因為核磁子就比波耳磁子小這麼多。

磁場中的原子:季曼效應

把原子放進外加磁場,每個能級便依其取向 m_J 分裂——這就是季曼效應。物理學家藉此量測太陽上的磁場,也正是靠它最初辨認出電子的自旋。在弱場中,內部自旋-軌道耦合仍占主導,位移由朗德 g 因子決定。

\Delta E = g_J\,\mu_B\,B\,m_J, \qquad g_J = 1 + \frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}

弱場(反常)季曼位移。每個能級展開成 $2J+1$ 個等間距的子能級;間距透過 g_J 依賴 L、S、J,因此量測分裂圖樣就能反推出譜項。\mu_B 是波耳磁子。