拍、都卜勒效應與波的未來

拍：兩音的搏動

把兩個頻率幾乎相等的音一起發出，你會聽到一種緩慢的搏動——大聲、小聲、大聲、小聲。這就是拍。疊加原理解釋了它：兩個波反覆地漂移到同相位（大聲）與反相位（小聲）。這種搏動以拍頻重複，等於兩個頻率之差。

f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2|

拍頻等於兩個波源頻率之差。

這正是音樂家用耳朵調音的方法。讓 440\text{ Hz} 的音叉對上 443\text{ Hz} 的弦，你會聽到每秒 |443 - 440| = 3 拍。調整弦直到拍慢到消失——此時頻率就相符了。

一輛救護車呼嘯而過，警笛在它通過的瞬間音調驟降。這就是都卜勒效應：波源與觀察者之間的相對運動使觀測到的頻率偏移。當波源接近時，每一個新的波前都比前一個發射得更靠近一點，於是波峰擠在一起——波長變短、音調變高。當它遠離時，波峰被拉開——波長變長、音調變低。

f' = f\,\frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}

觀測頻率 f′；上方符號對應接近。v 是介質中的波速；v_o、v_s 分別為觀察者與波源的速率。

判讀符號時，讓偏移方向正確：使間距縮小的運動抬高 f'，使間距拉開的運動壓低它。這裡的 v 是介質中的波速。對聲音而言，波源移動與觀察者移動並不對稱——空氣本身挑出了一個優先參考系。對光而言則沒有介質，因此只有相對速度重要（相對論性都卜勒效應，這留待日後再談）。

把波源速率一路推到波速，波前就再也跑不贏它——它們堆疊成單一的高壓震波。在聲速（馬赫 1）時，飛機拖著一個錐形震波，我們聽起來便是音爆。這正是都卜勒圖像被推到極限的結果。

這就是回報所在。本主題的一切——v = f\lambda、疊加、干涉、駐波、共振、都卜勒偏移——都能原封不動地（在精神上）延伸到橫跨整個電磁頻譜的光。超音波造影、雷達測速槍、降噪耳機、X 射線的繞射，以及告訴我們宇宙正在膨脹的紅移，全都是同一套物理。甚至物質本身，在量子力學中也表現得像波。