原地不動的波
把繩子兩端固定並抖動它:你送出的波在遠端反射,與仍在前進的波相互干涉。在某些頻率下,兩者結合成一個彷彿凍結的形狀——駐波。某些點,也就是波節,完全不動;在它們正中間的波腹則以最大振幅擺動。此時波不再前進,而是原地站立振盪。
只有特定的音能存在
由於固定端必須是波節,只有長度能恰好卡進兩端之間的波才能存活。長度為 L 的弦,能容納恰好半個波長、或兩個半波長、或三個,依此類推。這使得容許的波長被量子化——因此容許的頻率也被量子化。
兩端固定的弦上容許的波長——n 個半波長剛好填滿長度 L。
這些頻率是基頻 f₁ 的整數倍:它們就是諧波。
最低的 n = 1 是基頻——你所聽到的音高。較高的那些諧波一同響起,賦予樂器它的音色(這就是為什麼小提琴與長笛演奏同一個音卻聽起來不同)。兩端開口的管子行為如同弦——具有所有諧波——但一端封閉的管子只支持奇數諧波,其 \lambda = 4L/(2n-1)。
共振
為什麼這些特殊頻率如此重要?因為共振。以系統的某個自然頻率去驅動它,每一次推動都恰好抓準時機注入能量,於是振幅劇烈累積。吉他的琴身共振以放大弦的聲音;訓練有素的歌手能藉由匹配酒杯的共振頻率把它震碎;工程師則設計橋樑與建築,讓它們的自然頻率遠離風力與地震。
快速範例。一條長 L = 0.65\text{ m} 的吉他弦上波速為 v = 400\text{ m/s}。它的基頻為 f_1 = v/(2L) = 400 / 1.30 \approx 308\text{ Hz}——接近中央 C 上方的 E 音。按弦(縮短 L)會使 f_1 升高;這就是彈出不同音符的方式。
多大聲?強度與分貝
響度始於聲強 I——單位面積所攜帶的功率(單位為 W/m²)。點波源把功率散布到越來越大的球面上,因此強度隨距離的平方反比下降,I \propto 1/r^2。距離變為兩倍,強度就降到四分之一。
但耳朵能感應的範圍極其龐大——可忍受的最大聲音,其強度是勉強可聽見的最小聲音的一兆倍。因此我們用對數把這個範圍壓縮起來:分貝標度。
以聽覺閾值 I₀ 為基準所量得的分貝聲量。