快照與歷程
描述波有兩種截然不同的圖，初學者常常混淆。快照圖畫的是某一凍結瞬間下，位移 y 對位置 x 的關係——就像整條繩子的一張照片。在這張圖上，重複的距離就是波長。歷程圖畫的則是某一固定點上，位移 y 對時間 t 的關係——就像盯著單一軟木塞的浮沉。在這張圖上，重複的時間就是週期。
波函數
一條公式就能同時囊括這兩張圖。一個沿 +x 方向行進的正弦波可寫成下面的波函數，其中 A 是振幅、k 是波數、\omega 是角頻率，而 \varphi 則設定起始相位。
行進正弦波。組合 (kx − ωt) 表示往 +x 方向前進；改成 (kx + ωt) 則表示往 −x 方向前進。
波數計算每公尺累積的相位（弧度）；角頻率計算每秒累積的相位（弧度）。
把兩個定義相除，主關係式便再次浮現：v = \omega / k = f\lambda。再留意介質中每一小塊所做的事——隨著時間推進，每個固定的 x 都以 t 的正弦函數振盪。每個質點都在做簡諧運動；而波，不過是這些振盪逐點錯開相位所拼成的結果。
什麼決定波速？
如果波源不決定波速，那是誰決定？是介質——透過兩種性質之間的拔河。一種恢復性質（勁度）把每一小塊猛拉回靜止位置，催促波前進；一種慣性性質（質量）則抗拒運動，使波變慢。對拉緊的弦上的波而言，這是精確成立的：波速取決於張力 T 與線密度 \mu（單位長度的質量）。
弦上的波速：張力越大 → 越快；弦越重 → 越慢。
這正是為什麼吉他能調音。旋緊弦會提高 T，使 v 上升，於是共振頻率上升，音高也隨之升高。粗的低音弦有較大的 \mu，波速較慢、音高較低。（理想化：這個公式把弦當成完全柔軟、忽略了它本身的彎曲勁度與任何阻尼——對真實的弦已足夠好，但並非完美。）
縱波與聲音
聲音是空氣中的縱波。當它通過時，空氣分子沿傳播方向來回抖動，擠成密部、散成疏部。你的耳膜感受到由此產生的壓力起伏。空氣中的聲速在 20\,^{\circ}\text{C} 時約為 343\text{ m/s}——但在水中約 1480\text{ m/s}，在鋼中約 5000\text{ m/s}。波速取決於介質及其溫度，絕不取決於聲音多大聲或多高音。