轉動能量與角動量

轉動的能量

旋轉的飛輪儘管質心原地不動，顯然充滿能量。它的能量是轉動動能，是 \tfrac12 mv^2 的完美呼應，以 I 取代 m、\omega 取代 v。

K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^{2} \qquad\longleftrightarrow\qquad K_{\text{trans}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}

轉動動能以轉動慣量與角速度，取代線動能中的質量與速率。

一個同時平移又旋轉的物體——滾動的球——同時帶有兩種動能。它的總動能就是兩者相加：

K_{\text{total}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} + \tfrac{1}{2}I\omega^{2}

滾動物體的動能，拆成質心的平移加上繞質心的旋轉。

抓緊地面的輪子做純滾動：它不打滑，因此接觸地面的點在那一瞬間完全靜止。這把旋轉與行進鎖在一起——轉一圈，輪子恰好前進一個圓周長。

v_{\text{cm}} = R\,\omega \,,\qquad a_{\text{cm}} = R\,\alpha

純滾動條件把質心速率與旋轉綁在一起——同樣是 v = rω，此時用於整個輪子的前進。

正如線動量 p = mv 衡量「要讓運動物體停下有多難」，角動量 L 衡量要讓旋轉物體停下有多難。對剛體而言是轉動慣量乘以角速度；對單一質點而言，繞軸的角動量為 L = mvr。

L = I\,\omega \qquad (\text{particle: } L = m v r_{\perp}) \qquad\longleftrightarrow\qquad p = m v

角動量是線動量的旋轉夥伴，以 I 與 ω 取代 m 與 v。

角動量是向量，且與 \vec\omega 一樣，依右手定則沿轉軸指向。這個向量本質正是旋轉物體在方向上頑固的原因——行進中的自行車、擲出的橄欖球、來福槍的子彈，都維持指向其自轉軸的方向。

關鍵成果在此。若系統不受外力矩作用，其總角動量便不能改變——這就是角動量守恆，與能量或動量守恆同樣基本。因此若物體把自己重塑成較小的 I，其 \omega 必須升高，以維持 L = I\omega 不變。

\tau_{\text{ext}} = 0 \;\Longrightarrow\; L = I\omega = \text{constant} \;\Longrightarrow\; I_{1}\omega_{1} = I_{2}\omega_{2}

無外力矩時，縮小 I 便迫使 ω 升高——旋轉溜冰者的物理。

花式溜冰選手張開手臂緩慢旋轉，接著把手臂收攏：她的 I 下降，\omega 便驟升到模糊一片。坍縮的恆星做同樣的事，成為每秒旋轉數百次的脈衝星。貓在空中靠著讓身體一部分相對另一部分扭轉、而總 L 維持為零，來翻正自己。

更深層的原因，是轉動的牛頓第二定律最一般的形式：力矩是角動量的變化率，對應 F = dp/dt。若淨外力矩為零，L 的變化率為零——它守恆。上述每個例子，都是這一個方程式的化身。

\vec{\tau}_{\text{net}} = \frac{d\vec{L}}{dt} \qquad\longleftrightarrow\qquad \vec{F}_{\text{net}} = \frac{d\vec{p}}{dt}

最一般的轉動牛頓第二定律：力矩是角動量的變化率。

這個向量方程式也解釋了陀螺儀：一個與 \vec L 側向的力矩不會減慢旋轉，而是擺動它的方向，使轉軸掃出一個緩慢的圓錐——進動。這正是旋轉陀螺不會倒下、以及陀螺羅盤能找到北方的原因。