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長度收縮與「此刻」的終結

如果運動時鐘走得慢,運動的尺就必須變短——而觀察者對「同時發生什麼」必然意見不同。兩個效應、同一個勞侖茲因子、毫無矛盾。

運動的尺會縮短

時間與空間互相糾纏,所以如果時間拉長,長度就必須有所回應。量一個靜止物體,你得到它可能的最長長度,即原長(又稱靜止長度)L_0。讓同一個物體沿自身長度方向以速度 v 運動,任何看著它飛過的觀察者量到的都更短,正好短了勞侖茲因子這麼多。這就是長度收縮

L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}

長度收縮。L₀ 是原長(靜止長度);L 是看到物體運動的參考系所量到的。只有沿運動方向的尺度會收縮——垂直於 v 的寬度不變。

拉長光鐘滴答的那個勞侖茲因子 γ,同樣也用來除物體的長度。在此讀出你所選 v 對應的 γ,再套用 L = L₀/γ——同一個數字同時做兩件事。

同一事件,兩個自洽的說法

回到 μ子。在我們的參考系中,μ子的時鐘被膨脹,所以它活得夠久,足以跨越好幾公里。但在μ子自己的參考系中,它只活它正常的 2.2\ \mu\text{s}——沒有東西膨脹它自己的時鐘。那它怎麼還是到得了地面?因為在 μ子的參考系中,大氣層正以 $0.98c$ 從旁掠過,於是到地面的距離被長度收縮成靜止值的一小段,短到在 2.2\ \mu\text{s} 內就能走完。

  1. 問題。一艘星艦以 v = 0.60c 飛往 6.0 光年外的一顆星(地球系距離),故 γ = 1/√(1 − 0.36) = 1/0.8 = 1.25。在各自的參考系中,旅程各花多久?
  2. 地球系。以 0.60c 走 6.0 光年,需時 t = 6.0/0.60 = 10 年。地球的時鐘說旅程歷時 10 年。
  3. 星艦系,用時間膨脹算。星艦的時鐘讀到原時 Δt₀ = t/γ = 10/1.25 = 8.0 年。船員只老了 8 年。
  4. 星艦系,用長度收縮算(交叉驗證)。對船員而言,星球朝他們衝來,故距離收縮為 L = 6.0/1.25 = 4.8 光年;以 0.60c 走需 4.8/0.60 = 8.0 年。兩種方法完全一致——這正是整套架構自洽的標誌。

普世「此刻」的終結

最深的犧牲是同時性本身。想像愛因斯坦的火車,閃電同時擊中兩端——這是從地面判斷的,於是兩道閃光同一瞬間抵達月台中點的地面觀察者。坐在車廂中點的乘客正朝前方閃光衝去、遠離後方閃光。因此前方的光先到達她,對她而言前端的雷擊發生得較早。同樣的事件,不同的先後。

這就是同時性的相對性:在某個慣性系中同時的事件,在另一個系中一般並不同時。並不存在一個普世的「此刻」,能對每個人以相同方式把宇宙切成過去與未來。對一排運動的時鐘,有個好用的口訣:「領先的時鐘落後」——在你的參考系中,運動陣列前端的時鐘讀數會落後於後端那座。