虎克定律：回復力
想像一個放在無摩擦桌面上的木塊，繫在一根彈簧上。當彈簧處於自然長度時沒有任何拉力——那就是平衡。把木塊向右拉開距離 x，彈簧就把它往左拉回；把它壓縮，彈簧就把它往右推回。對於小位移，力正比於 x，方向與位移相反。這就是虎克定律。
虎克定律：回復力正比於位移；負號代表「指回平衡位置」。
這裡的 k 是彈簧常數（又稱力常數），單位為牛頓每公尺——它代表彈簧的硬度。負號正是振子的全部性格所在：力永遠指向家的方向，回到 x = 0。這就是回復力的數學形式。
牛頓第二運動定律把它化為運動
現在對木塊套用牛頓第二運動定律 F = ma。在無摩擦的桌面上，唯一的水平力就是彈簧的力，於是我們可以把力的兩個表達式劃上等號。
加速度正比於位移，且方向相反。
這正是簡諧運動的招牌特徵：加速度正比於 -x。把常數 k/m 收進一個符號會很方便，那就是角頻率 \omega，定義為 \omega^2 = k/m。方程式於是化為最乾淨的形式。
簡諧運動的定義方程式。
解出它：位置是一條正弦波
什麼函數的二階導數等於 -\omega^2 乘以它自己？正弦與餘弦正好如此。因此 a = -\omega^2 x 的通解是一條平移過的餘弦。
簡諧運動通解：振幅 A、角頻率 ω、相位常數 φ。
這裡 A 是振幅，由你一開始把木塊拉多遠決定；\varphi（相位常數）由你選定為 t = 0 的時刻決定。關鍵在於，\omega 只由彈簧與質量決定——裡面完全沒有 A。這正是先前允諾的等時性：週期與振幅無關。
彈簧-質量振子的角頻率、週期與頻率。
一個範例演算
一個 0.50 kg 的木塊接在 k = 200 N/m 的彈簧上，從平衡位置拉開 4.0 cm 後由靜止釋放。求它的角頻率、週期、頻率與最大速率。步驟一——角頻率。 把 k 與 m 直接代入 \omega = \sqrt{k/m}。
步驟一：由彈簧常數與質量得角頻率。
步驟二——週期與頻率。 這兩者直接由 \omega 得到。
步驟二：週期與頻率。
步驟三——最大速率。 釋放瞬間木塊位於 x = A、速率為零。它在穿過平衡位置時移動得最快，該處的峰值速率為 v_{\max} = A\omega。代入 A = 0.040 m：
步驟三：最大速率，在平衡位置達到。