功率、效率，以及能量真正的去向

功率：能量傳遞的速率

完成一件事是一回事；快速完成又是另一回事。功率衡量做功或傳遞能量的快慢。兩台起重機都能把貨物吊到同樣高度（相同的功），但功率較大的那台用更短的時間完成。

P = \frac{W}{t}, \qquad P = \frac{dW}{dt}

功率是單位時間內的功——左為平均式，右為瞬時式。

1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}, \qquad 1\ \text{hp} \approx 746\ \text{W}

功率的單位是瓦特；一馬力約為 746 瓦特。

P = F v

對於推動一個以速率 v 運動之物體的力，功率等於力乘以速度。

範例：一位 50 公斤的學生在 4.0 秒內跑上 3.0 公尺高的樓梯。他對抗重力的功率輸出為 P = mgh/t = (50)(9.8)(3.0)/4.0 \approx 368 瓦特——大約半馬力，而且只能短暫維持。

一旦像動摩擦力這種非保守力介入，力學能就不再守恆。它並沒有消失——而是轉化成熱能，讓接觸的表面變熱。這就是能量耗散。

W_\text{friction} = -f_k\, d, \qquad E_\text{thermal} = f_k\, d

摩擦力對物體做負功；同樣多的能量以熱的形式出現。

\tfrac{1}{2} m v_i^2 + m g h_i = \tfrac{1}{2} m v_f^2 + m g h_f + f_k d

完整的能量帳：初始力學能等於末力學能加上摩擦生成的熱。

把帳本擴大到涵蓋熱、聲、光與其他所有形式，你就找回了牢不可破的能量守恆定律：能量總量從不損失，只是轉換。看似「消失」的能量，只是變成了我們沒有追蹤的形式。真實的機器只把一部分輸入轉成有用的輸出；其餘的漏掉了，大多變成熱。我們用效率來量化這件事。

\eta = \frac{\text{useful energy out}}{\text{total energy in}} \le 1

效率是輸入能量中以有用功輸出的比例——對真實機器而言永遠小於 100%。

一個 0.50 公斤的方塊由靜止開始，沿一道無摩擦斜坡從 2.0 公尺高滑下。到底部後，它滑上一段粗糙的水平地面，動摩擦係數 \mu_k = 0.30。它停下前走多遠？我們串起兩個觀念：斜坡上用力學能守恆，地面上用功能定理。

KE_\text{bottom} = m g h = (0.50)(9.8)(2.0) = 9.8\ \text{J}

步驟一——下落的全部位能在底部變成動能。

f_k = \mu_k m g = (0.30)(0.50)(9.8) = 1.47\ \text{N}

步驟二——平坦地面上的動摩擦力。

d = \frac{KE_\text{bottom}}{f_k} = \frac{9.8}{1.47} \approx 6.7\ \text{m}

步驟三——摩擦力必須耗散掉全部 9.8 J，因此它作用 6.7 公尺後方塊才停下。

隨著你的物理越走越深，能量帳本也越記越大。在碰撞中，動能可能守恆也可能不守恆（彈性對非彈性），但動量永遠守恆。在熱物理中，摩擦所產生的熱本身成為一門學問，由熱力學定律支配。而在最深的層次，愛因斯坦證明了質量本身就是一種儲存的能量形式——質能等效。

E = m c^2

能量帳本上的終極一條：質量就是能量，而 c² 是那個（極大的）換算匯率。

你現在握有整個物理學中最強大的工具之一。許多用力與微積分處理會變成惡夢的問題，一旦你問出那個簡單的問題——能量從哪裡開始、又去了哪裡？——往往一兩行就迎刃而解。