位能與力學能守恆

儲存的能量

位能是物體因為它在哪裡或如何被組態而擁有的能量，等著被釋放成運動。把書舉高，你就儲存了重力位能；壓縮彈簧，你就儲存了彈性位能。放手後，兩者都會變成動能。

U_g = m g h

地表附近的重力位能：質量乘以 g 乘以高度。

U_s = \tfrac{1}{2} k x^2

彈簧被拉伸或壓縮 x 時儲存的彈性位能（來自虎克定律）。

保守力與非保守力

只有某些力可以被儲存成位能。保守力所做的功只取決於起點與終點，與所走的路徑無關。重力與理想彈簧都是保守力：把一個質量沿筆直的梯子或蜿蜒的樓梯搬到同樣的高度，重力做的（負）功相同。繞一圈回到原處，淨功為零，因此能量可以完全回收。

像動摩擦力這樣的非保守力通不過這個檢驗：把箱子繞遠路拖過去，摩擦力偷走的能量比走近路更多。與路徑有關的力無法被封存成位能——它們反而把能量耗散掉，通常變成熱。

F_x = -\frac{dU}{dx}

保守力是其位能曲線斜率的負值——物體在能量圖上被推往「下坡」方向。

力學能守恆

把動能與位能加在一起，就得到力學能，E = KE + U。回報就在這裡：當只有保守力做功時，力學能是固定的。這就是力學能守恆。

E = KE + U = \text{constant}

只有保守力時，力學能總量永遠不變。

\tfrac{1}{2} m v_i^2 + m g h_i = \tfrac{1}{2} m v_f^2 + m g h_f

起點的能量等於終點的能量——無摩擦問題的主力方程式。

能量圖

位能圖把 U 對位置畫出來，將運動問題變成一顆球在地形上滾動的圖像。在固定的總能量 E 處畫一條水平線；物體只能待在 E \ge U 的地方。當這條線與曲線相交時，KE = 0，物體便折返——那些就是轉折點。

範例：落到底部的速率

一台小車在無摩擦軌道上（比方說雲霄飛車的下坡）從高度 h 由靜止出發，滾到底部。它在底部有多快？策略：把參考位置 U = 0 定在底部。起始的全部位能都變成動能——完全不需要用到力。

m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2 g h}

質量消掉了：在無摩擦軌道上，任何東西從相同高度都達到相同速率。

當 h = 5.0 公尺時，v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5.0} \approx 9.9 m/s。令人印象深刻的是質量被消掉了——一顆彈珠和一塊巨石從同樣的高度釋放，會以相同的速率到達。注意這個 v = \sqrt{2gh} 與自由落體物體算出來的一樣，這很合理：軌道只是改變運動方向，並不做功。