運動的能量
一個運動中的物體，僅僅因為它在動就帶著能量——這就是它的動能。它取決於物體的質量，並且關鍵地取決於其速率的平方。
KE = \tfrac{1}{2}mv^2
動能：二分之一的質量乘以速率的平方。
推導功能定理
\tfrac{1}{2}mv^2 從何而來？從牛頓第二運動定律出發。假設一個沿運動方向的定值合力 F 作用了距離 d，產生加速度 a = F/m。淨功就是 F d = m a d。
W_\text{net} = F d = m a d
用牛頓第二運動定律寫出的淨功。
現在借用運動學導覽裡的一條結果：對於等加速度，v_f^2 = v_i^2 + 2ad。解出 ad 再代回。
v_f^2 = v_i^2 + 2 a d \;\Rightarrow\; a d = \tfrac{1}{2}\left(v_f^2 - v_i^2\right)
等加速度關係式改寫成 ad 的形式。
W_\text{net} = \tfrac{1}{2}m v_f^2 - \tfrac{1}{2}m v_i^2 = \Delta KE
功能定理：淨功等於動能的變化。
這就是功能定理。雖然我們是用定力推導的，但對 F\,dx 積分可證明它對任何力都成立，不論定值或變化、直線或曲線。它是力學中最有用的一句話之一：輸入淨功，輸出動能的變化。
用能量長條圖來看
淨功的正負號現在很容易解讀。正的淨功 → 物體加速。負的淨功 → 物體減速。零淨功 → 速率不變，即使它正沿曲線轉彎（就像等速圓周運動，其合力垂直於速度）。
範例：煞車距離
一台 1200 公斤的汽車以 20 m/s 行駛，駕駛猛踩煞車。路面提供固定的 6000 N 摩擦力。車子停下前會走多遠？策略：摩擦力是唯一的水平力，所以它做的功就是淨功；令它等於動能的變化（從 \tfrac{1}{2}mv_i^2 降到零）。
W_\text{net} = -f\,d = 0 - \tfrac{1}{2}m v_i^2 \;\Rightarrow\; d = \frac{m v_i^2}{2 f}
令摩擦功等於動能的損失，解出距離。
d = \frac{(1200)(20)^2}{2(6000)} = 40\ \text{m}
車子需要 40 公尺才能停下——完全不必求加速度或時間。
為何威力強大
注意這個定理讓我們略過了什麼：加速度、時間，以及運動的細節形狀。我們只用淨功就把兩個速率連了起來。下一篇導覽再往前一步——對於特殊的「保守」力，我們可以把功儲存成位能，甚至完全不必計算功。