質心與綜合應用

系統的平衡點

把一把尺平衡在一根手指上，你就找到了它的質心——質量在某種意義上圍繞它均勻分布的那一點。對一群粒子而言，它是它們位置的平均，但以質量加權，所以較重的粒子會把它拉向自己。

\vec{R}_{\text{cm}} = \frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \vec{r}_i

質心：所有粒子的質量加權平均位置，其中 M 是總質量。

快速範例：把 1\text{ kg} 的質量放在 x = 0，3\text{ kg} 的質量放在 x = 4\text{ m}。質心位於 x_{\text{cm}} = (1\cdot 0 + 3\cdot 4)/(1+3) = 12/4 = 3\text{ m}——四分之三的路程偏向較重的質量，正如平衡直覺所預測。

質心如何運動

這裡說明為什麼質心不只是幾何上的趣味。它的速度正是總動量除以總質量——所以任何系統的總動量，恰好就彷彿它所有的質量都集中在質心、以單一粒子的方式運動。

\vec{v}_{\text{cm}} = \frac{\vec{p}_{\text{total}}}{M} \qquad\Longrightarrow\qquad \vec{F}_{\text{ext,net}} = M\,\vec{a}_{\text{cm}}

質心服從整個系統的牛頓第二定律：它只在淨外力下加速，對所有內力視而不見。

給進階者的另一個工具：從質心參考系——即隨 \vec{v}_{\text{cm}} 運動的參考系——來看碰撞。在該參考系中總動量為零，所以兩物體總是以大小相等、方向相反的動量接近，並（若為彈性）以同樣方式離開。許多碰撞問題在那裡變得幾乎不費力，再變換回實驗室參考系即可。

兩個工具的合作：彈道擺

最精彩的問題把動量與能量結合，各自用在有效之處。經典的彈道擺藉由把子彈射入一個懸掛的木塊、觀察木塊擺升多高，來測量子彈的速率。訣竅在於知道哪條守恆定律適用於哪個階段——這裡出錯是學生最常犯的單一錯誤。

v = \frac{m + M}{m}\,\sqrt{2gh}

彈道擺：碰撞用動量守恆，擺升用能量守恆。任一階段用錯定律都會得到錯誤答案。

接下來通向何處

動量是物理學中最深刻的概念之一，你現在已掌握了它的線性版本。接下來，轉動有它自己的守恆夥伴——角動量——它解釋了旋轉的溜冰者與穩定的行星。把能量與動量放在一起，你就擁有力學的兩大主守恆定律。而在接近光速時，動量必須重新定義；愛因斯坦的相對論動量在物體趨近 c 時無限增大，這正是為什麼任何有質量的東西都永遠無法達到光速。