光的反擊：光子與光電效應

一個結果頑固的簡單實驗

在真空中取一片乾淨的金屬板，用光照它。電子會從表面被打出來——你可以把它們收集成電流。這就是光電效應，而它的細節就是不肯符合光的波動理論。

波是平滑地傳遞能量的，因此波動物理預測三件事：只要夠亮或等得夠久，任何顏色最終都該有效；愈亮的光該給出愈高能的電子；而且電子在吸收能量時應該有一段時間延遲。

實驗在每一點上都給出相反的答案。低於某個底限頻率，就完全沒有反應，無論光多麼刺眼。高於它，電子立即出現，即使在昏暗的光束中也一樣。而電子的最大動能取決於光的頻率（顏色）——與亮度無關。亮度只改變有多少個電子跑出來。

1905年，愛因斯坦把普朗克的能量小塊當真。他主張光本身是量子化的：一束光是一陣粒子雨——光子——每個光子帶有固定的能量，只由頻率決定。普朗克把牆壁量子化；愛因斯坦則把飛行中的光量子化。

E = hf = \dfrac{hc}{\lambda}

光子的能量：與頻率成正比，與波長成反比。

光的便利捷徑：乘積 hc 約等於 1240 eV·nm，因此波長為 \lambda（以奈米計）的光子，能量為 1240/\lambda 電子伏特。約 400 奈米的紫光，每個光子約帶 3.1 eV；約 700 奈米的紅光則只約 1.8 eV。

謎團就此化解。一個光子把全部能量給一個電子。高頻光子是一記猛烈的單擊；低頻光子太軟，而堆上更多的軟光子（把低頻光加亮）也無濟於事，因為它們是一個一個作用的。這正是為何會有底限。

為了逃離金屬，電子必須先付一筆能量過路費——功函數 \varphi，即掙脫表面所需的最小能量。光子付完之後剩下的，就變成電子的動能。

K_{\max} = hf - \varphi

愛因斯坦光電方程式：光子能量減去功函數。

f_0 = \dfrac{\varphi}{h}

底限頻率：低於它，hf 不足以支付過路費，沒有電子能逃出。

實驗者用截止電壓來測量 K_{\max}：施加反向電壓，直到連最快的電子都被擋回，於是 eV_{\text{stop}} = K_{\max}。把 V_{\text{stop}} 對頻率作圖，會得到一條斜率為 h/e 的直線——密立根正是用這條線，從愛因斯坦方程式測出了普朗克常數。

範例。波長 400 奈米的紫光照在功函數 \varphi = 2.30 eV 的金屬上。求射出電子的最大動能、截止電壓，以及仍然有效的最長波長。

光子能量：E = 1240/\lambda = 1240/400 = 3.10 eV。
減去過路費：K_{\max} = 3.10 - 2.30 = 0.80 eV。
截止電壓：eV_{\text{stop}} = K_{\max}，所以 V_{\text{stop}} = 0.80 V。
底限波長：\lambda_0 = 1240/\varphi = 1240/2.30 \approx 539 奈米。綠光或更紅的光（更長的 \lambda）無論多亮都打不出電子。

愛因斯坦因這項工作獲得 1921 年諾貝爾獎，而非因相對論。這是光確實具有粒子性的第一個硬證據——也引出一個顯而易見的下一問：如果波可以是粒子，那麼粒子能不能是波？