磁場從何而來

每個磁場都源自電流

厄斯特證明了電流「會」產生磁場；現在我們把它量化。最基本的規則是必歐–沙伐定律：它給出一小段通電導線 d\vec{l} 所貢獻的微小磁場 d\vec{B}。每個電流元都添上自己的一小圈磁場漩渦，要得到某點的總磁場，就把所有電流元的貢獻加總——也就是積分。

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{r}}{r^{2}}

必歐–沙伐定律。1/r² 的衰減與外積（磁場環繞電流）與庫侖定律相呼應，但有個轉折——磁場是環繞電流，而非由電流指向外側。

常數 \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A} 稱為真空磁導率，是電學常數 \varepsilon_0 的磁學對應。它決定了真空本身的磁響應強度。

沿無限長直導線對必歐–沙伐定律積分，距離 r 處的磁場結果十分簡潔。磁力線就是第 1 篇看到的同心圓，強度隨 $1/r$ 衰減。

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

距離載流 I 的長直導線 r 處的磁場。方向由右手握拳定則給出。

手算必歐–沙伐積分很費力。當幾何具有對稱性時，安培定律幾乎能免費奉上磁場——它是高斯定律的磁學對應。它說：環繞任一封閉迴路的磁場環流，由穿過該迴路的總電流決定。

\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}

安培定律。選一條順著磁場對稱性的迴路（環繞導線的圓），B 便立刻現身——一行就重現 B = μ₀I/(2πr)。

把導線繞成密繞多匝的螺旋，你就得到一個螺線管。內部各匝的磁場彼此加強，形成沿軸線、近乎均勻的磁場；外部磁場則微弱而分散——正是條形磁鐵的樣式。對矩形迴路套用安培定律，即可用單位長度匝數 n 表示內部磁場。

B = \mu_0 n I

長螺線管內部的均勻磁場，其中 n = N/L 為每公尺匝數。切斷電流，磁場即消失——這就是電磁鐵。

把兩條通電導線並排，每條都處於另一條的磁場中，因而各自受力。同向電流相吸、反向電流相斥——這股力如此基本，過去甚至用來定義安培。

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

相距 d 的兩平行導線間每單位長度的作用力。它結合了 B = μ₀I/(2πr) 與 F = BIL。

題目。 求距離載流 10 A 的長直導線 5.0 cm 處的磁場。
列式。 用 B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}，其中 I = 10 A、r = 0.050 m。注意 \dfrac{\mu_0}{2\pi} = 2\times10^{-7}\,\text{T·m/A}。
計算。 B = (2\times10^{-7})\dfrac{10}{0.050} = (2\times10^{-7})(200) = 4\times10^{-5}\,\text{T} = 40\,\mu\text{T}。
解讀。 這與地球磁場大小相當——正因如此，緊靠通電導線的指南針會明顯偏轉，恰如厄斯特當年所見。