遊戲規則
要推導壓力，我們得把理想氣體模型精確地寫清楚。(1) 氣體是龐大數目 N 個全同分子，每個質量為 m。(2) 它們朝隨機方向運動，速率有一段分布。(3) 它們小到自身體積相對於容器可忽略。(4) 除碰撞外它們彼此不施力，而碰撞是完全彈性的（不損失動能）。(5) 與牆壁的碰撞也是彈性的——分子反彈時速率不變。
單次碰撞的動量衝擊
先看立方盒（邊長 L）中的一個分子，聚焦於面對 x 方向的那面牆。分子撞上該牆時，其 x 方向速度從 +v_x 反轉為 -v_x，因此動量改變了 2mv_x。這改變由牆提供；依牛頓第三定律，分子也對牆施予大小相等、方向相反的衝擊。
一次反彈交給牆的動量。對 x 牆而言只有 x 分量重要；y 與 z 方向的運動只是讓分子沿著牆滑動。
這個分子多久回到同一面牆一次？它必須來回穿越到對面牆再回來，一趟 $2L$，耗時 \Delta t = 2L/v_x。力是每單位時間交付的動量，所以這一個分子對牆施加的平均力，就是每次衝擊除以兩次衝擊之間的時間。
單個分子對一面牆的平均力。注意它與速度的平方成正比——已預示了即將登場的動能。
把整團加起來
一個分子給出的力微弱而顫動。但 N 個分子每秒數十億次地捶打牆面，加總起來就成了我們稱為壓力的平滑、穩定的推力。跟著這筆帳走：
- 對 x 牆的總力是對所有分子求和：F =（m/L）Σ v_x²，其中和涵蓋每個分子各自的 v_x²。
- 把求和換成 N 乘以平均：Σ v_x² = N · ⟨v_x²⟩，其中 ⟨v_x²⟩ 是 x 方向速度平方的平均。
- 運動是隨機的，所以沒有哪個方向特殊：⟨v_x²⟩ = ⟨v_y²⟩ = ⟨v_z²⟩。由於 v² = v_x² + v_y² + v_z²，每一個都是整體的三分之一：⟨v_x²⟩ = ⟨v²⟩/3。
- 把總力除以牆面積 A = L² 得壓力，並用體積 V = L³：P = F/L² =（m/L³）·N·⟨v_x²⟩ =（N m /V）·⟨v²⟩/3。
壓力是統計平均
動理論的核心結果：巨觀的乘積 PV 等於三分之一乘以 N、乘以分子質量、乘以速率平方的平均。這是我們僅用牛頓定律推導出來的。
停下來想想剛才發生了什麼。我們從遵守牛頓定律彈跳的球出發，抵達了巨觀量 P 與 V 之間的關係。速率平方的平均 \overline{v^2} 承載了整團群體的運動；它的平方根就是方均根速率，也就是我們下一篇要遇見的有效分子速率。把這條方程式與實驗的 PV = Nk_BT 相比，一件美妙的事即將水落石出——溫度的真正意義。