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楞次定律與動生電動勢

解決法拉第定律留下的兩個問題——感應電流往哪個方向流、它的能量從何而來——透過楞次定律、滑動導桿與渦電流一一釐清。

楞次定律:大自然反推回來

法拉第定律裡的那個負號,藏著一條優美而簡單的規則。楞次定律說,感應電流的方向永遠會反抗造成它的那個變化。把磁鐵的 N 極推向線圈,線圈的近端面也會變成 N 極,往回推以抵抗這入侵。把磁鐵抽離,近端面則翻轉為 S 極,把它拉住。無論你怎麼做,線圈都跟你作對。

當你在「推入磁鐵」與「抽出磁鐵」間切換時,觀察感應電流的箭頭如何反向——線圈總是建立起一個反抗你運動的磁極。這就是運作中的楞次定律。

動生電動勢:在磁場中移動的導桿

感應最乾淨的例子根本不需要磁鐵移動——只要一根導體在穩定磁場中移動即可。讓一根長為 L 的直桿以速度 v 沿兩條軌道滑動,運動方向垂直於磁場 B。此時桿內每一個自由電荷都是磁場中的運動電荷,因而感受到勞侖茲力 qvB,被沿著桿身推動。電荷在兩端堆積,建立起電壓——這就是動生電動勢。

\varepsilon = B\,L\,v

長 L 的導桿以速度 v 垂直於磁場 B 滑動時的動生電動勢。

這直接連回磁通量。導桿滑動時,它與軌道圍成的電路面積以 $L v$ 的速率增大,所以磁通量以 d\Phi_B/dt = B L v 增加。法拉第定律於是給出 \varepsilon = B L v——一模一樣的答案。動生電動勢的觀點與磁通量的觀點,只是望向同一個物理的兩扇窗。

代價:力、電流與功率

把電路經一個電阻 R 接通,就有電流 I = \varepsilon/R = BLv/R 流過。但這股電流身處同一個磁場 B 中,於是感受到一個力 F = BIL——依楞次定律,這個力指向逆著導桿運動的方向。要讓導桿以定速 v 滑行,你必須以等大反向的力推它,所做的機械功會重現為電能,最終在 R 中化為熱。

I=\frac{BLv}{R}, \qquad P = Fv = \frac{(BLv)^2}{R}

感應電流,以及你必須提供的機械功率——它恰好等於耗散的電功率 I²R。能量守恆。

渦電流

感應並不限於整齊的導線圈。在一塊實心金屬板穿過變化磁場時,感應電流會捲成一個個封閉的漩渦,稱為渦電流。依楞次定律,它們會反抗運動,產生平順、無接觸的磁煞車,用於火車與雲霄飛車;而它們的電阻發熱,正是電磁爐或感應熔爐加熱金屬的方式。在金屬上切出溝槽以打斷這些迴路,阻力便大致消失——這也是為什麼變壓器鐵芯是用薄薄的絕緣疊片、而非一整塊實心金屬做成的。